Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29912 / 17768
↖ ↑ ↗
← N 63.292939°
W 15.688477°		 ← 274.51 m → N 63.292939°
W 15.682984°		 →
↑
274.53 m
↓
↑
274.53 m
↓
N 63.290470°
W 15.688477°		 ← 274.53 m →
75 362 m²		 N 63.290470°
W 15.682984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29912 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17768 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456428527832031 y=0.271125793457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456428527832031 × 216)
    floor (0.456428527832031 × 65536)
    floor (29912.5)     		tx = 29912
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.271125793457031 × 216)
    floor (0.271125793457031 × 65536)
    floor (17768.5)     		ty = 17768
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29912 / 17768 ti = "16/29912/17768"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29912/17768.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29912 ÷ 216
    29912 ÷ 65536     		x = 0.4564208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17768 ÷ 216
    17768 ÷ 65536     		y = 0.2711181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4564208984375 × 2 - 1) × π
    -0.087158203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.27381557
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2711181640625 × 2 - 1) × π
    0.457763671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.43810698860168
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27381557} λ = -0.27381557}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43810698860168))-π/2
    2×atan(4.21271354935167)-π/2
    2×1.33773325492141-π/2
    2.67546650984282-1.57079632675     		φ = 1.10467018
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27381557} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.688477°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10467018 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.292939°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29912 KachelY 17768 -0.27381557 1.10467018 -15.688477 63.292939
    Oben rechts KachelX + 1 29913 KachelY 17768 -0.27371970 1.10467018 -15.682984 63.292939
    Unten links KachelX 29912 KachelY + 1 17769 -0.27381557 1.10462709 -15.688477 63.290470
    Unten rechts KachelX + 1 29913 KachelY + 1 17769 -0.27371970 1.10462709 -15.682984 63.290470
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10467018-1.10462709) × R
    4.30900000001344e-05 × 6371000     		dl = 274.526390000856m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10467018-1.10462709) × R
    4.30900000001344e-05 × 6371000     		dr = 274.526390000856m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27381557--0.27371970) × cos(1.10467018) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.449429091177846 × 6371000     		do = 274.505792373637m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27381557--0.27371970) × cos(1.10462709) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.449467583747425 × 6371000     		du = 274.529303164372m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10467018)-sin(1.10462709))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.449429091177846-0.449467583747425)×R²
    abs(-0.27371970--0.27381557)×3.84925695793292e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.84925695793292e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.84925695793292e-05×40589641000000     		ar = 75362.3113927928m²