Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29911 / 20755
↖ ↑ ↗
← N 54.917671°
W 15.693969°		 ← 351.05 m → N 54.917671°
W 15.688477°		 →
↑
351.04 m
↓
↑
351.04 m
↓
N 54.914514°
W 15.693969°		 ← 351.08 m →
123 239 m²		 N 54.914514°
W 15.688477°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29911 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20755 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456413269042969 y=0.316703796386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456413269042969 × 216)
    floor (0.456413269042969 × 65536)
    floor (29911.5)     		tx = 29911
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316703796386719 × 216)
    floor (0.316703796386719 × 65536)
    floor (20755.5)     		ty = 20755
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29911 / 20755 ti = "16/29911/20755"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29911/20755.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29911 ÷ 216
    29911 ÷ 65536     		x = 0.456405639648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20755 ÷ 216
    20755 ÷ 65536     		y = 0.316696166992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456405639648438 × 2 - 1) × π
    -0.087188720703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.27391144
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.316696166992188 × 2 - 1) × π
    0.366607666015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.15173195027147
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27391144} λ = -0.27391144}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15173195027147))-π/2
    2×atan(3.16366748223227)-π/2
    2×1.26464525462348-π/2
    2.52929050924696-1.57079632675     		φ = 0.95849418
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27391144} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.693969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95849418 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.917671°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29911 KachelY 20755 -0.27391144 0.95849418 -15.693969 54.917671
    Oben rechts KachelX + 1 29912 KachelY 20755 -0.27381557 0.95849418 -15.688477 54.917671
    Unten links KachelX 29911 KachelY + 1 20756 -0.27391144 0.95843908 -15.693969 54.914514
    Unten rechts KachelX + 1 29912 KachelY + 1 20756 -0.27381557 0.95843908 -15.688477 54.914514
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95849418-0.95843908) × R
    5.50999999999746e-05 × 6371000     		dl = 351.042099999838m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95849418-0.95843908) × R
    5.50999999999746e-05 × 6371000     		dr = 351.042099999838m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27391144--0.27381557) × cos(0.95849418) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.574752890427252 × 6371000     		do = 351.052036245108m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27391144--0.27381557) × cos(0.95843908) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.574797979373664 × 6371000     		du = 351.079576022138m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95849418)-sin(0.95843908))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.574752890427252-0.574797979373664)×R²
    abs(-0.27381557--0.27391144)×4.50889464119753e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.50889464119753e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.50889464119753e-05×40589641000000     		ar = 123238.877854781m²