Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29911 / 13492
↖ ↑ ↗
← N 72.094189°
W 15.693969°		 ← 187.79 m → N 72.094189°
W 15.688477°		 →
↑
187.75 m
↓
↑
187.75 m
↓
N 72.092501°
W 15.693969°		 ← 187.81 m →
35 260 m²		 N 72.092501°
W 15.688477°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29911 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13492 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456413269042969 y=0.205879211425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456413269042969 × 216)
    floor (0.456413269042969 × 65536)
    floor (29911.5)     		tx = 29911
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.205879211425781 × 216)
    floor (0.205879211425781 × 65536)
    floor (13492.5)     		ty = 13492
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29911 / 13492 ti = "16/29911/13492"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29911/13492.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29911 ÷ 216
    29911 ÷ 65536     		x = 0.456405639648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13492 ÷ 216
    13492 ÷ 65536     		y = 0.20587158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456405639648438 × 2 - 1) × π
    -0.087188720703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.27391144
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20587158203125 × 2 - 1) × π
    0.5882568359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.8480633541524
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27391144} λ = -0.27391144}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8480633541524))-π/2
    2×atan(6.34751472339693)-π/2
    2×1.41453865055496-π/2
    2.82907730110991-1.57079632675     		φ = 1.25828097
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27391144} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.693969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25828097 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.094189°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29911 KachelY 13492 -0.27391144 1.25828097 -15.693969 72.094189
    Oben rechts KachelX + 1 29912 KachelY 13492 -0.27381557 1.25828097 -15.688477 72.094189
    Unten links KachelX 29911 KachelY + 1 13493 -0.27391144 1.25825150 -15.693969 72.092501
    Unten rechts KachelX + 1 29912 KachelY + 1 13493 -0.27381557 1.25825150 -15.688477 72.092501
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25828097-1.25825150) × R
    2.94699999998649e-05 × 6371000     		dl = 187.753369999139m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25828097-1.25825150) × R
    2.94699999998649e-05 × 6371000     		dr = 187.753369999139m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27391144--0.27381557) × cos(1.25828097) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.307453127577937 × 6371000     		do = 187.788610172849m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27391144--0.27381557) × cos(1.25825150) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.307481170012714 × 6371000     		du = 187.805738149052m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25828097)-sin(1.25825150))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.307453127577937-0.307481170012714)×R²
    abs(-0.27381557--0.27391144)×2.80424347770536e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.80424347770536e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.80424347770536e-05×40589641000000     		ar = 35259.5523275068m²