Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29910 / 42610
↖ ↑ ↗
← S 47.465236°
W 15.699463°		 ← 412.96 m → S 47.465236°
W 15.693969°		 →
↑
412.90 m
↓
↑
412.90 m
↓
S 47.468949°
W 15.699463°		 ← 412.93 m →
170 506 m²		 S 47.468949°
W 15.693969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29910 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42610 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456398010253906 y=0.650184631347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456398010253906 × 216)
    floor (0.456398010253906 × 65536)
    floor (29910.5)     		tx = 29910
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650184631347656 × 216)
    floor (0.650184631347656 × 65536)
    floor (42610.5)     		ty = 42610
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29910 / 42610 ti = "16/29910/42610"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29910/42610.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29910 ÷ 216
    29910 ÷ 65536     		x = 0.456390380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42610 ÷ 216
    42610 ÷ 65536     		y = 0.650177001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456390380859375 × 2 - 1) × π
    -0.08721923828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.27400732
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.650177001953125 × 2 - 1) × π
    -0.30035400390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.943589932121185
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27400732} λ = -0.27400732}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.943589932121185))-π/2
    2×atan(0.389228022065644)-π/2
    2×0.371185837230377-π/2
    0.742371674460753-1.57079632675     		φ = -0.82842465
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27400732} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.699463°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82842465 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.465236°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29910 KachelY 42610 -0.27400732 -0.82842465 -15.699463 -47.465236
    Oben rechts KachelX + 1 29911 KachelY 42610 -0.27391144 -0.82842465 -15.693969 -47.465236
    Unten links KachelX 29910 KachelY + 1 42611 -0.27400732 -0.82848946 -15.699463 -47.468949
    Unten rechts KachelX + 1 29911 KachelY + 1 42611 -0.27391144 -0.82848946 -15.693969 -47.468949
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82842465--0.82848946) × R
    6.48100000000262e-05 × 6371000     		dl = 412.904510000167m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82842465--0.82848946) × R
    6.48100000000262e-05 × 6371000     		dr = 412.904510000167m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27400732--0.27391144) × cos(-0.82842465) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.676037422347176 × 6371000     		do = 412.958459976126m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27400732--0.27391144) × cos(-0.82848946) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.67598966455833 × 6371000     		du = 412.929287060127m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82842465)-sin(-0.82848946))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.676037422347176-0.67598966455833)×R²
    abs(-0.27391144--0.27400732)×4.77577888463587e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.77577888463587e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.77577888463587e-05×40589641000000     		ar = 170506.387812237m²