Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29910 / 29635
↖ ↑ ↗
← S 80.988852°
E148.601074°		 ← 191.33 m → S 80.988852°
E148.612060°		 →
↑
191.32 m
↓
↑
191.32 m
↓
S 80.990573°
E148.601074°		 ← 191.30 m →
36 602 m²		 S 80.990573°
E148.612060°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29910 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29635 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912796020507812 y=0.904403686523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912796020507812 × 215)
    floor (0.912796020507812 × 32768)
    floor (29910.5)     		tx = 29910
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.904403686523438 × 215)
    floor (0.904403686523438 × 32768)
    floor (29635.5)     		ty = 29635
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29910 / 29635 ti = "15/29910/29635"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29910/29635.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29910 ÷ 215
    29910 ÷ 32768     		x = 0.91278076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29635 ÷ 215
    29635 ÷ 32768     		y = 0.904388427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91278076171875 × 2 - 1) × π
    0.8255615234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.59357802
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.904388427734375 × 2 - 1) × π
    -0.80877685546875 × 3.1415926535     		Φ = -2.54084742746146
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59357802} λ = 2.59357802}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54084742746146))-π/2
    2×atan(0.0787995945480027)-π/2
    2×0.0786371007378084-π/2
    0.157274201475617-1.57079632675     		φ = -1.41352213
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59357802} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.601074°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41352213 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.988852°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29910 KachelY 29635 2.59357802 -1.41352213 148.601074 -80.988852
    Oben rechts KachelX + 1 29911 KachelY 29635 2.59376976 -1.41352213 148.612060 -80.988852
    Unten links KachelX 29910 KachelY + 1 29636 2.59357802 -1.41355216 148.601074 -80.990573
    Unten rechts KachelX + 1 29911 KachelY + 1 29636 2.59376976 -1.41355216 148.612060 -80.990573
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41352213--1.41355216) × R
    3.00300000000142e-05 × 6371000     		dl = 191.321130000091m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41352213--1.41355216) × R
    3.00300000000142e-05 × 6371000     		dr = 191.321130000091m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59357802-2.59376976) × cos(-1.41352213) × R
    0.000191739999999996 × 0.156626630786375 × 6371000     		do = 191.331261081243m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59357802-2.59376976) × cos(-1.41355216) × R
    0.000191739999999996 × 0.156596971349459 × 6371000     		du = 191.295029838576m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41352213)-sin(-1.41355216))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156626630786375-0.156596971349459)×R²
    abs(2.59376976-2.59357802)×2.96594369161574e-05×R²
    0.000191739999999996×2.96594369161574e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.96594369161574e-05×40589641000000     		ar = 36602.2471759975m²