Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 2991 / 3426
↖ ↑ ↗
← N 28.226970°
W 48.559571°		 ← 4 305.45 m → N 28.226970°
W 48.515625°		 →
↑
4 306.22 m
↓
↑
4 306.22 m
↓
N 28.188244°
W 48.559571°		 ← 4 307.01 m →
18 543 597 m²		 N 28.188244°
W 48.515625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2991 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3426 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.36517333984375 y=0.41827392578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.36517333984375 × 213)
    floor (0.36517333984375 × 8192)
    floor (2991.5)     		tx = 2991
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.41827392578125 × 213)
    floor (0.41827392578125 × 8192)
    floor (3426.5)     		ty = 3426
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2991 / 3426 ti = "13/2991/3426"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2991/3426.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2991 ÷ 213
    2991 ÷ 8192     		x = 0.3651123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3426 ÷ 213
    3426 ÷ 8192     		y = 0.418212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3651123046875 × 2 - 1) × π
    -0.269775390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.84752439
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418212890625 × 2 - 1) × π
    0.16357421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.513883563927002
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84752439} λ = -0.84752439}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.513883563927002))-π/2
    2×atan(1.67177103404912)-π/2
    2×1.03172494591144-π/2
    2.06344989182287-1.57079632675     		φ = 0.49265357
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84752439} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.559571°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49265357 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.226970°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2991 KachelY 3426 -0.84752439 0.49265357 -48.559571 28.226970
    Oben rechts KachelX + 1 2992 KachelY 3426 -0.84675739 0.49265357 -48.515625 28.226970
    Unten links KachelX 2991 KachelY + 1 3427 -0.84752439 0.49197766 -48.559571 28.188244
    Unten rechts KachelX + 1 2992 KachelY + 1 3427 -0.84675739 0.49197766 -48.515625 28.188244
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49265357-0.49197766) × R
    0.000675910000000002 × 6371000     		dl = 4306.22261000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49265357-0.49197766) × R
    0.000675910000000002 × 6371000     		dr = 4306.22261000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84752439--0.84675739) × cos(0.49265357) × R
    0.000766999999999962 × 0.88108091489529 × 6371000     		do = 4305.45211224777m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84752439--0.84675739) × cos(0.49197766) × R
    0.000766999999999962 × 0.88140039576013 × 6371000     		du = 4307.01327370422m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49265357)-sin(0.49197766))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.88108091489529-0.88140039576013)×R²
    abs(-0.84675739--0.84752439)×0.000319480864840682×R²
    0.000766999999999962×0.000319480864840682×6371000²
    0.000766999999999962×0.000319480864840682×40589641000000     		ar = 18543597.2923909m²