Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2991 / 3423
↖ ↑ ↗
← N 28.343065°
W 48.559571°		 ← 4 300.76 m → N 28.343065°
W 48.515625°		 →
↑
4 301.44 m
↓
↑
4 301.44 m
↓
N 28.304381°
W 48.559571°		 ← 4 302.33 m →
18 502 848 m²		 N 28.304381°
W 48.515625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2991 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3423 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.36517333984375 y=0.41790771484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.36517333984375 × 213)
    floor (0.36517333984375 × 8192)
    floor (2991.5)     		tx = 2991
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.41790771484375 × 213)
    floor (0.41790771484375 × 8192)
    floor (3423.5)     		ty = 3423
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2991 / 3423 ti = "13/2991/3423"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2991/3423.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2991 ÷ 213
    2991 ÷ 8192     		x = 0.3651123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3423 ÷ 213
    3423 ÷ 8192     		y = 0.4178466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3651123046875 × 2 - 1) × π
    -0.269775390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.84752439
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4178466796875 × 2 - 1) × π
    0.164306640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.516184535108765
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84752439} λ = -0.84752439}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.516184535108765))-π/2
    2×atan(1.67562215998673)-π/2
    2×1.03273806473878-π/2
    2.06547612947757-1.57079632675     		φ = 0.49467980
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84752439} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.559571°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49467980 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.343065°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2991 KachelY 3423 -0.84752439 0.49467980 -48.559571 28.343065
    Oben rechts KachelX + 1 2992 KachelY 3423 -0.84675739 0.49467980 -48.515625 28.343065
    Unten links KachelX 2991 KachelY + 1 3424 -0.84752439 0.49400464 -48.559571 28.304381
    Unten rechts KachelX + 1 2992 KachelY + 1 3424 -0.84675739 0.49400464 -48.515625 28.304381
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49467980-0.49400464) × R
    0.000675160000000008 × 6371000     		dl = 4301.44436000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49467980-0.49400464) × R
    0.000675160000000008 × 6371000     		dr = 4301.44436000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84752439--0.84675739) × cos(0.49467980) × R
    0.000766999999999962 × 0.880120769857609 × 6371000     		do = 4300.76030879288m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84752439--0.84675739) × cos(0.49400464) × R
    0.000766999999999962 × 0.880441101351802 × 6371000     		du = 4302.32562689814m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49467980)-sin(0.49400464))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880120769857609-0.880441101351802)×R²
    abs(-0.84675739--0.84752439)×0.000320331494192638×R²
    0.000766999999999962×0.000320331494192638×6371000²
    0.000766999999999962×0.000320331494192638×40589641000000     		ar = 18502848.4411995m²