Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29909 / 29917
↖ ↑ ↗
← S 81.461369°
E148.590088°		 ← 181.38 m → S 81.461369°
E148.601074°		 →
↑
181.32 m
↓
↑
181.32 m
↓
S 81.463000°
E148.590088°		 ← 181.35 m →
32 885 m²		 S 81.463000°
E148.601074°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29909 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29917 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912765502929688 y=0.913009643554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912765502929688 × 215)
    floor (0.912765502929688 × 32768)
    floor (29909.5)     		tx = 29909
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.913009643554688 × 215)
    floor (0.913009643554688 × 32768)
    floor (29917.5)     		ty = 29917
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29909 / 29917 ti = "15/29909/29917"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29909/29917.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29909 ÷ 215
    29909 ÷ 32768     		x = 0.912750244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29917 ÷ 215
    29917 ÷ 32768     		y = 0.912994384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912750244140625 × 2 - 1) × π
    0.82550048828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.59338627
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.912994384765625 × 2 - 1) × π
    -0.82598876953125 × 3.1415926535     		Φ = -2.59492025023288
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59338627} λ = 2.59338627}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.59492025023288))-π/2
    2×atan(0.0746518293030501)-π/2
    2×0.0745136155425834-π/2
    0.149027231085167-1.57079632675     		φ = -1.42176910
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59338627} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.590088°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42176910 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.461369°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29909 KachelY 29917 2.59338627 -1.42176910 148.590088 -81.461369
    Oben rechts KachelX + 1 29910 KachelY 29917 2.59357802 -1.42176910 148.601074 -81.461369
    Unten links KachelX 29909 KachelY + 1 29918 2.59338627 -1.42179756 148.590088 -81.463000
    Unten rechts KachelX + 1 29910 KachelY + 1 29918 2.59357802 -1.42179756 148.601074 -81.463000
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42176910--1.42179756) × R
    2.84600000000079e-05 × 6371000     		dl = 181.31866000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42176910--1.42179756) × R
    2.84600000000079e-05 × 6371000     		dr = 181.31866000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59338627-2.59357802) × cos(-1.42176910) × R
    0.000191749999999935 × 0.148476211908971 × 6371000     		do = 181.384368159255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59338627-2.59357802) × cos(-1.42179756) × R
    0.000191749999999935 × 0.148448067300068 × 6371000     		du = 181.349985600343m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42176910)-sin(-1.42179756))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148476211908971-0.148448067300068)×R²
    abs(2.59357802-2.59338627)×2.81446089033521e-05×R²
    0.000191749999999935×2.81446089033521e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.81446089033521e-05×40589641000000     		ar = 32885.2534821096m²