Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29909 / 29617
↖ ↑ ↗
← S 80.957825°
E148.590088°		 ← 191.99 m → S 80.957825°
E148.601074°		 →
↑
192.02 m
↓
↑
192.02 m
↓
S 80.959552°
E148.590088°		 ← 191.96 m →
36 864 m²		 S 80.959552°
E148.601074°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29909 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29617 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912765502929688 y=0.903854370117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912765502929688 × 215)
    floor (0.912765502929688 × 32768)
    floor (29909.5)     		tx = 29909
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.903854370117188 × 215)
    floor (0.903854370117188 × 32768)
    floor (29617.5)     		ty = 29617
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29909 / 29617 ti = "15/29909/29617"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29909/29617.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29909 ÷ 215
    29909 ÷ 32768     		x = 0.912750244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29617 ÷ 215
    29617 ÷ 32768     		y = 0.903839111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912750244140625 × 2 - 1) × π
    0.82550048828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.59338627
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.903839111328125 × 2 - 1) × π
    -0.80767822265625 × 3.1415926535     		Φ = -2.53739597068881
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59338627} λ = 2.59338627}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53739597068881))-π/2
    2×atan(0.079072037834943)-π/2
    2×0.078907856978055-π/2
    0.15781571395611-1.57079632675     		φ = -1.41298061
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59338627} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.590088°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41298061 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.957825°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29909 KachelY 29617 2.59338627 -1.41298061 148.590088 -80.957825
    Oben rechts KachelX + 1 29910 KachelY 29617 2.59357802 -1.41298061 148.601074 -80.957825
    Unten links KachelX 29909 KachelY + 1 29618 2.59338627 -1.41301075 148.590088 -80.959552
    Unten rechts KachelX + 1 29910 KachelY + 1 29618 2.59357802 -1.41301075 148.601074 -80.959552
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41298061--1.41301075) × R
    3.01400000000118e-05 × 6371000     		dl = 192.021940000075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41298061--1.41301075) × R
    3.01400000000118e-05 × 6371000     		dr = 192.021940000075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59338627-2.59357802) × cos(-1.41298061) × R
    0.000191749999999935 × 0.157161444293418 × 6371000     		do = 191.994588935463m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59338627-2.59357802) × cos(-1.41301075) × R
    0.000191749999999935 × 0.157131678774106 × 6371000     		du = 191.958226208774m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41298061)-sin(-1.41301075))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157161444293418-0.157131678774106)×R²
    abs(2.59357802-2.59338627)×2.97655193123303e-05×R²
    0.000191749999999935×2.97655193123303e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.97655193123303e-05×40589641000000     		ar = 36863.6822189674m²