Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29908 / 41684
↖ ↑ ↗
← S 43.913723°
W 15.710449°		 ← 440.05 m → S 43.913723°
W 15.704956°		 →
↑
439.98 m
↓
↑
439.98 m
↓
S 43.917680°
W 15.710449°		 ← 440.02 m →
193 607 m²		 S 43.917680°
W 15.704956°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29908 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41684 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456367492675781 y=0.636054992675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456367492675781 × 216)
    floor (0.456367492675781 × 65536)
    floor (29908.5)     		tx = 29908
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636054992675781 × 216)
    floor (0.636054992675781 × 65536)
    floor (41684.5)     		ty = 41684
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29908 / 41684 ti = "16/29908/41684"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29908/41684.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29908 ÷ 216
    29908 ÷ 65536     		x = 0.45635986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41684 ÷ 216
    41684 ÷ 65536     		y = 0.63604736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45635986328125 × 2 - 1) × π
    -0.0872802734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27419907
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63604736328125 × 2 - 1) × π
    -0.2720947265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.854810794024841
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27419907} λ = -0.27419907}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.854810794024841))-π/2
    2×atan(0.425363664815977)-π/2
    2×0.402178634483554-π/2
    0.804357268967107-1.57079632675     		φ = -0.76643906
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27419907} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.710449°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76643906 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.913723°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29908 KachelY 41684 -0.27419907 -0.76643906 -15.710449 -43.913723
    Oben rechts KachelX + 1 29909 KachelY 41684 -0.27410319 -0.76643906 -15.704956 -43.913723
    Unten links KachelX 29908 KachelY + 1 41685 -0.27419907 -0.76650812 -15.710449 -43.917680
    Unten rechts KachelX + 1 29909 KachelY + 1 41685 -0.27410319 -0.76650812 -15.704956 -43.917680
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76643906--0.76650812) × R
    6.90600000000652e-05 × 6371000     		dl = 439.981260000415m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76643906--0.76650812) × R
    6.90600000000652e-05 × 6371000     		dr = 439.981260000415m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27419907--0.27410319) × cos(-0.76643906) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.720385008534475 × 6371000     		do = 440.048248633063m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27419907--0.27410319) × cos(-0.76650812) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.72033710856903 × 6371000     		du = 440.018988868279m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76643906)-sin(-0.76650812))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.720385008534475-0.72033710856903)×R²
    abs(-0.27410319--0.27419907)×4.78999654451862e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.78999654451862e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.78999654451862e-05×40589641000000     		ar = 193606.546097674m²