Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29908 / 29604
↖ ↑ ↗
← S 80.935352°
E148.579101°		 ← 192.47 m → S 80.935352°
E148.590088°		 →
↑
192.47 m
↓
↑
192.47 m
↓
S 80.937083°
E148.579101°		 ← 192.43 m →
37 040 m²		 S 80.937083°
E148.590088°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29908 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29604 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912734985351562 y=0.903457641601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912734985351562 × 215)
    floor (0.912734985351562 × 32768)
    floor (29908.5)     		tx = 29908
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.903457641601562 × 215)
    floor (0.903457641601562 × 32768)
    floor (29604.5)     		ty = 29604
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29908 / 29604 ti = "15/29908/29604"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29908/29604.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29908 ÷ 215
    29908 ÷ 32768     		x = 0.9127197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29604 ÷ 215
    29604 ÷ 32768     		y = 0.9034423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9127197265625 × 2 - 1) × π
    0.825439453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.59319452
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9034423828125 × 2 - 1) × π
    -0.806884765625 × 3.1415926535     		Φ = -2.53490325190857
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59319452} λ = 2.59319452}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53490325190857))-π/2
    2×atan(0.0792693880557584)-π/2
    2×0.0791039779118858-π/2
    0.158207955823772-1.57079632675     		φ = -1.41258837
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59319452} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.579101°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41258837 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.935352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29908 KachelY 29604 2.59319452 -1.41258837 148.579101 -80.935352
    Oben rechts KachelX + 1 29909 KachelY 29604 2.59338627 -1.41258837 148.590088 -80.935352
    Unten links KachelX 29908 KachelY + 1 29605 2.59319452 -1.41261858 148.579101 -80.937083
    Unten rechts KachelX + 1 29909 KachelY + 1 29605 2.59338627 -1.41261858 148.590088 -80.937083
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41258837--1.41261858) × R
    3.02100000000305e-05 × 6371000     		dl = 192.467910000194m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41258837--1.41261858) × R
    3.02100000000305e-05 × 6371000     		dr = 192.467910000194m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59319452-2.59338627) × cos(-1.41258837) × R
    0.000191749999999935 × 0.157548797797418 × 6371000     		do = 192.467795179574m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59319452-2.59338627) × cos(-1.41261858) × R
    0.000191749999999935 × 0.157518965012083 × 6371000     		du = 192.431350278072m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41258837)-sin(-1.41261858))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157548797797418-0.157518965012083)×R²
    abs(2.59338627-2.59319452)×2.98327853351377e-05×R²
    0.000191749999999935×2.98327853351377e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.98327853351377e-05×40589641000000     		ar = 37040.3670469758m²