Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29908 / 13740
↖ ↑ ↗
← N 71.670574°
W 15.710449°		 ← 192.10 m → N 71.670574°
W 15.704956°		 →
↑
192.15 m
↓
↑
192.15 m
↓
N 71.668846°
W 15.710449°		 ← 192.12 m →
36 914 m²		 N 71.668846°
W 15.704956°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29908 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13740 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456367492675781 y=0.209663391113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456367492675781 × 216)
    floor (0.456367492675781 × 65536)
    floor (29908.5)     		tx = 29908
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.209663391113281 × 216)
    floor (0.209663391113281 × 65536)
    floor (13740.5)     		ty = 13740
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29908 / 13740 ti = "16/29908/13740"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29908/13740.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29908 ÷ 216
    29908 ÷ 65536     		x = 0.45635986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13740 ÷ 216
    13740 ÷ 65536     		y = 0.20965576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45635986328125 × 2 - 1) × π
    -0.0872802734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27419907
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20965576171875 × 2 - 1) × π
    0.5806884765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.82428665194086
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27419907} λ = -0.27419907}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82428665194086))-π/2
    2×atan(6.19837184513557)-π/2
    2×1.41084191125098-π/2
    2.82168382250196-1.57079632675     		φ = 1.25088750
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27419907} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.710449°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25088750 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.670574°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29908 KachelY 13740 -0.27419907 1.25088750 -15.710449 71.670574
    Oben rechts KachelX + 1 29909 KachelY 13740 -0.27410319 1.25088750 -15.704956 71.670574
    Unten links KachelX 29908 KachelY + 1 13741 -0.27419907 1.25085734 -15.710449 71.668846
    Unten rechts KachelX + 1 29909 KachelY + 1 13741 -0.27410319 1.25085734 -15.704956 71.668846
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25088750-1.25085734) × R
    3.01599999998903e-05 × 6371000     		dl = 192.149359999301m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25088750-1.25085734) × R
    3.01599999998903e-05 × 6371000     		dr = 192.149359999301m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27419907--0.27410319) × cos(1.25088750) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.314480014473348 × 6371000     		do = 192.100582271451m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27419907--0.27410319) × cos(1.25085734) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.314508644135394 × 6371000     		du = 192.118070742884m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25088750)-sin(1.25085734))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.314480014473348-0.314508644135394)×R²
    abs(-0.27410319--0.27419907)×2.86296620464754e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.86296620464754e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.86296620464754e-05×40589641000000     		ar = 36913.684141372m²