Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29907 / 29898
↖ ↑ ↗
← S 81.430320°
E148.568115°		 ← 182.04 m → S 81.430320°
E148.579101°		 →
↑
182.02 m
↓
↑
182.02 m
↓
S 81.431957°
E148.568115°		 ← 182 m →
33 132 m²		 S 81.431957°
E148.579101°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29907 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29898 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912704467773438 y=0.912429809570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912704467773438 × 215)
    floor (0.912704467773438 × 32768)
    floor (29907.5)     		tx = 29907
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.912429809570312 × 215)
    floor (0.912429809570312 × 32768)
    floor (29898.5)     		ty = 29898
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29907 / 29898 ti = "15/29907/29898"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29907/29898.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29907 ÷ 215
    29907 ÷ 32768     		x = 0.912689208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29898 ÷ 215
    29898 ÷ 32768     		y = 0.91241455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912689208984375 × 2 - 1) × π
    0.82537841796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.59300277
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91241455078125 × 2 - 1) × π
    -0.8248291015625 × 3.1415926535     		Φ = -2.59127704586176
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59300277} λ = 2.59300277}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.59127704586176))-π/2
    2×atan(0.0749242972006264)-π/2
    2×0.0747845679328702-π/2
    0.14956913586574-1.57079632675     		φ = -1.42122719
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59300277} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.568115°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42122719 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.430320°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29907 KachelY 29898 2.59300277 -1.42122719 148.568115 -81.430320
    Oben rechts KachelX + 1 29908 KachelY 29898 2.59319452 -1.42122719 148.579101 -81.430320
    Unten links KachelX 29907 KachelY + 1 29899 2.59300277 -1.42125576 148.568115 -81.431957
    Unten rechts KachelX + 1 29908 KachelY + 1 29899 2.59319452 -1.42125576 148.579101 -81.431957
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42122719--1.42125576) × R
    2.85700000000055e-05 × 6371000     		dl = 182.019470000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42122719--1.42125576) × R
    2.85700000000055e-05 × 6371000     		dr = 182.019470000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59300277-2.59319452) × cos(-1.42122719) × R
    0.000191749999999935 × 0.149012093539949 × 6371000     		do = 182.039022193011m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59300277-2.59319452) × cos(-1.42125576) × R
    0.000191749999999935 × 0.148983842452515 × 6371000     		du = 182.004509555747m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42122719)-sin(-1.42125576))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149012093539949-0.148983842452515)×R²
    abs(2.59319452-2.59300277)×2.82510874335951e-05×R²
    0.000191749999999935×2.82510874335951e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.82510874335951e-05×40589641000000     		ar = 33131.5053551586m²