Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29906 / 29921
↖ ↑ ↗
← S 81.467891°
E148.557129°		 ← 181.24 m → S 81.467891°
E148.568115°		 →
↑
181.25 m
↓
↑
181.25 m
↓
S 81.469521°
E148.557129°		 ← 181.20 m →
32 847 m²		 S 81.469521°
E148.568115°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29906 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29921 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912673950195312 y=0.913131713867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912673950195312 × 215)
    floor (0.912673950195312 × 32768)
    floor (29906.5)     		tx = 29906
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.913131713867188 × 215)
    floor (0.913131713867188 × 32768)
    floor (29921.5)     		ty = 29921
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29906 / 29921 ti = "15/29906/29921"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29906/29921.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29906 ÷ 215
    29906 ÷ 32768     		x = 0.91265869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29921 ÷ 215
    29921 ÷ 32768     		y = 0.913116455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91265869140625 × 2 - 1) × π
    0.8253173828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.59281103
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.913116455078125 × 2 - 1) × π
    -0.82623291015625 × 3.1415926535     		Φ = -2.5956872406268
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59281103} λ = 2.59281103}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5956872406268))-π/2
    2×atan(0.0745945940193483)-π/2
    2×0.0744566972156422-π/2
    0.148913394431284-1.57079632675     		φ = -1.42188293
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59281103} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.557129°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42188293 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.467891°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29906 KachelY 29921 2.59281103 -1.42188293 148.557129 -81.467891
    Oben rechts KachelX + 1 29907 KachelY 29921 2.59300277 -1.42188293 148.568115 -81.467891
    Unten links KachelX 29906 KachelY + 1 29922 2.59281103 -1.42191138 148.557129 -81.469521
    Unten rechts KachelX + 1 29907 KachelY + 1 29922 2.59300277 -1.42191138 148.568115 -81.469521
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42188293--1.42191138) × R
    2.84500000000687e-05 × 6371000     		dl = 181.254950000438m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42188293--1.42191138) × R
    2.84500000000687e-05 × 6371000     		dr = 181.254950000438m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59281103-2.59300277) × cos(-1.42188293) × R
    0.000191739999999996 × 0.148363642641346 × 6371000     		do = 181.237396875965m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59281103-2.59300277) × cos(-1.42191138) × R
    0.000191739999999996 × 0.148335507441037 × 6371000     		du = 181.203027603455m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42188293)-sin(-1.42191138))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148363642641346-0.148335507441037)×R²
    abs(2.59300277-2.59281103)×2.81352003083379e-05×R²
    0.000191739999999996×2.81352003083379e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.81352003083379e-05×40589641000000     		ar = 32847.0605112206m²