Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29906 / 29899
↖ ↑ ↗
← S 81.431957°
E148.557129°		 ← 182 m → S 81.431957°
E148.568115°		 →
↑
182.02 m
↓
↑
182.02 m
↓
S 81.433594°
E148.557129°		 ← 181.96 m →
33 123 m²		 S 81.433594°
E148.568115°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29906 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29899 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912673950195312 y=0.912460327148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912673950195312 × 215)
    floor (0.912673950195312 × 32768)
    floor (29906.5)     		tx = 29906
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.912460327148438 × 215)
    floor (0.912460327148438 × 32768)
    floor (29899.5)     		ty = 29899
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29906 / 29899 ti = "15/29906/29899"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29906/29899.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29906 ÷ 215
    29906 ÷ 32768     		x = 0.91265869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29899 ÷ 215
    29899 ÷ 32768     		y = 0.912445068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91265869140625 × 2 - 1) × π
    0.8253173828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.59281103
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.912445068359375 × 2 - 1) × π
    -0.82489013671875 × 3.1415926535     		Φ = -2.59146879346024
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59281103} λ = 2.59281103}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.59146879346024))-π/2
    2×atan(0.0749099320238585)-π/2
    2×0.0747702829317294-π/2
    0.149540565863459-1.57079632675     		φ = -1.42125576
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59281103} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.557129°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42125576 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.431957°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29906 KachelY 29899 2.59281103 -1.42125576 148.557129 -81.431957
    Oben rechts KachelX + 1 29907 KachelY 29899 2.59300277 -1.42125576 148.568115 -81.431957
    Unten links KachelX 29906 KachelY + 1 29900 2.59281103 -1.42128433 148.557129 -81.433594
    Unten rechts KachelX + 1 29907 KachelY + 1 29900 2.59300277 -1.42128433 148.568115 -81.433594
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42125576--1.42128433) × R
    2.85700000000055e-05 × 6371000     		dl = 182.019470000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42125576--1.42128433) × R
    2.85700000000055e-05 × 6371000     		dr = 182.019470000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59281103-2.59300277) × cos(-1.42125576) × R
    0.000191739999999996 × 0.148983842452515 × 6371000     		do = 181.995017795202m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59281103-2.59300277) × cos(-1.42128433) × R
    0.000191739999999996 × 0.148955591243474 × 6371000     		du = 181.960506809262m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42125576)-sin(-1.42128433))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148983842452515-0.148955591243474)×R²
    abs(2.59300277-2.59281103)×2.82512090409026e-05×R²
    0.000191739999999996×2.82512090409026e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.82512090409026e-05×40589641000000     		ar = 33123.4958487266m²