Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29906 / 29146
↖ ↑ ↗
← S 80.107245°
E148.557129°		 ← 209.87 m → S 80.107245°
E148.568115°		 →
↑
209.86 m
↓
↑
209.86 m
↓
S 80.109132°
E148.557129°		 ← 209.83 m →
44 040 m²		 S 80.109132°
E148.568115°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29906 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29146 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912673950195312 y=0.889480590820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912673950195312 × 215)
    floor (0.912673950195312 × 32768)
    floor (29906.5)     		tx = 29906
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.889480590820312 × 215)
    floor (0.889480590820312 × 32768)
    floor (29146.5)     		ty = 29146
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29906 / 29146 ti = "15/29906/29146"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29906/29146.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29906 ÷ 215
    29906 ÷ 32768     		x = 0.91265869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29146 ÷ 215
    29146 ÷ 32768     		y = 0.88946533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91265869140625 × 2 - 1) × π
    0.8253173828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.59281103
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.88946533203125 × 2 - 1) × π
    -0.7789306640625 × 3.1415926535     		Φ = -2.44708285180463
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59281103} λ = 2.59281103}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.44708285180463))-π/2
    2×atan(0.0865456852053673)-π/2
    2×0.0863305709076806-π/2
    0.172661141815361-1.57079632675     		φ = -1.39813518
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59281103} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.557129°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39813518 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.107245°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29906 KachelY 29146 2.59281103 -1.39813518 148.557129 -80.107245
    Oben rechts KachelX + 1 29907 KachelY 29146 2.59300277 -1.39813518 148.568115 -80.107245
    Unten links KachelX 29906 KachelY + 1 29147 2.59281103 -1.39816812 148.557129 -80.109132
    Unten rechts KachelX + 1 29907 KachelY + 1 29147 2.59300277 -1.39816812 148.568115 -80.109132
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39813518--1.39816812) × R
    3.29400000000923e-05 × 6371000     		dl = 209.860740000588m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39813518--1.39816812) × R
    3.29400000000923e-05 × 6371000     		dr = 209.860740000588m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59281103-2.59300277) × cos(-1.39813518) × R
    0.000191739999999996 × 0.171804532665768 × 6371000     		do = 209.872214765628m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59281103-2.59300277) × cos(-1.39816812) × R
    0.000191739999999996 × 0.171772082355496 × 6371000     		du = 209.832574260335m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39813518)-sin(-1.39816812))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.171804532665768-0.171772082355496)×R²
    abs(2.59300277-2.59281103)×3.24503102711593e-05×R²
    0.000191739999999996×3.24503102711593e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.24503102711593e-05×40589641000000     		ar = 44039.7788078324m²