Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29906 / 13774
↖ ↑ ↗
← N 71.611748°
W 15.721435°		 ← 192.68 m → N 71.611748°
W 15.715942°		 →
↑
192.66 m
↓
↑
192.66 m
↓
N 71.610016°
W 15.721435°		 ← 192.69 m →
37 122 m²		 N 71.610016°
W 15.715942°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29906 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13774 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456336975097656 y=0.210182189941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456336975097656 × 216)
    floor (0.456336975097656 × 65536)
    floor (29906.5)     		tx = 29906
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.210182189941406 × 216)
    floor (0.210182189941406 × 65536)
    floor (13774.5)     		ty = 13774
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29906 / 13774 ti = "16/29906/13774"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29906/13774.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29906 ÷ 216
    29906 ÷ 65536     		x = 0.456329345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13774 ÷ 216
    13774 ÷ 65536     		y = 0.210174560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456329345703125 × 2 - 1) × π
    -0.08734130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27439081
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.210174560546875 × 2 - 1) × π
    0.57965087890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.82102694276669
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27439081} λ = -0.27439081}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82102694276669))-π/2
    2×atan(6.17819985084633)-π/2
    2×1.41032856081327-π/2
    2.82065712162654-1.57079632675     		φ = 1.24986079
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27439081} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.721435°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24986079 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.611748°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29906 KachelY 13774 -0.27439081 1.24986079 -15.721435 71.611748
    Oben rechts KachelX + 1 29907 KachelY 13774 -0.27429494 1.24986079 -15.715942 71.611748
    Unten links KachelX 29906 KachelY + 1 13775 -0.27439081 1.24983055 -15.721435 71.610016
    Unten rechts KachelX + 1 29907 KachelY + 1 13775 -0.27429494 1.24983055 -15.715942 71.610016
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24986079-1.24983055) × R
    3.02400000000702e-05 × 6371000     		dl = 192.659040000447m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24986079-1.24983055) × R
    3.02400000000702e-05 × 6371000     		dr = 192.659040000447m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27439081--0.27429494) × cos(1.24986079) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.31545446748832 × 6371000     		do = 192.675730733724m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27439081--0.27429494) × cos(1.24983055) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.315483163311276 × 6371000     		du = 192.693257791436m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24986079)-sin(1.24983055))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.31545446748832-0.315483163311276)×R²
    abs(-0.27429494--0.27439081)×2.86958229562262e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.86958229562262e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.86958229562262e-05×40589641000000     		ar = 37122.4096906059m²