Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29905 / 29455
↖ ↑ ↗
← S 80.673779°
E148.546143°		 ← 197.97 m → S 80.673779°
E148.557129°		 →
↑
197.95 m
↓
↑
197.95 m
↓
S 80.675559°
E148.546143°		 ← 197.94 m →
39 185 m²		 S 80.675559°
E148.557129°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29905 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29455 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912643432617188 y=0.898910522460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912643432617188 × 215)
    floor (0.912643432617188 × 32768)
    floor (29905.5)     		tx = 29905
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.898910522460938 × 215)
    floor (0.898910522460938 × 32768)
    floor (29455.5)     		ty = 29455
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29905 / 29455 ti = "15/29905/29455"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29905/29455.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29905 ÷ 215
    29905 ÷ 32768     		x = 0.912628173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29455 ÷ 215
    29455 ÷ 32768     		y = 0.898895263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912628173828125 × 2 - 1) × π
    0.82525634765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.59261928
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.898895263671875 × 2 - 1) × π
    -0.79779052734375 × 3.1415926535     		Φ = -2.50633285973502
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59261928} λ = 2.59261928}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.50633285973502))-π/2
    2×atan(0.0815668083861492)-π/2
    2×0.0813866351586754-π/2
    0.162773270317351-1.57079632675     		φ = -1.40802306
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59261928} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.546143°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40802306 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.673779°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29905 KachelY 29455 2.59261928 -1.40802306 148.546143 -80.673779
    Oben rechts KachelX + 1 29906 KachelY 29455 2.59281103 -1.40802306 148.557129 -80.673779
    Unten links KachelX 29905 KachelY + 1 29456 2.59261928 -1.40805413 148.546143 -80.675559
    Unten rechts KachelX + 1 29906 KachelY + 1 29456 2.59281103 -1.40805413 148.557129 -80.675559
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40802306--1.40805413) × R
    3.10699999999109e-05 × 6371000     		dl = 197.946969999432m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40802306--1.40805413) × R
    3.10699999999109e-05 × 6371000     		dr = 197.946969999432m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59261928-2.59281103) × cos(-1.40802306) × R
    0.000191749999999935 × 0.162055435090319 × 6371000     		do = 197.973280182094m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59261928-2.59281103) × cos(-1.40805413) × R
    0.000191749999999935 × 0.162024775706063 × 6371000     		du = 197.935825474906m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40802306)-sin(-1.40805413))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162055435090319-0.162024775706063)×R²
    abs(2.59281103-2.59261928)×3.06593842561986e-05×R²
    0.000191749999999935×3.06593842561986e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.06593842561986e-05×40589641000000     		ar = 39184.5039334216m²