Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29905 / 17828
↖ ↑ ↗
← N 63.144431°
W 15.726929°		 ← 275.95 m → N 63.144431°
W 15.721435°		 →
↑
275.93 m
↓
↑
275.93 m
↓
N 63.141949°
W 15.726929°		 ← 275.97 m →
76 145 m²		 N 63.141949°
W 15.721435°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29905 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17828 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456321716308594 y=0.272041320800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456321716308594 × 216)
    floor (0.456321716308594 × 65536)
    floor (29905.5)     		tx = 29905
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.272041320800781 × 216)
    floor (0.272041320800781 × 65536)
    floor (17828.5)     		ty = 17828
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29905 / 17828 ti = "16/29905/17828"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29905/17828.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29905 ÷ 216
    29905 ÷ 65536     		x = 0.456314086914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17828 ÷ 216
    17828 ÷ 65536     		y = 0.27203369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456314086914062 × 2 - 1) × π
    -0.087371826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.27448669
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27203369140625 × 2 - 1) × π
    0.4559326171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.43235456064728
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27448669} λ = -0.27448669}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43235456064728))-π/2
    2×atan(4.18854978495578)-π/2
    2×1.33643727514388-π/2
    2.67287455028775-1.57079632675     		φ = 1.10207822
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27448669} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.726929°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10207822 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.144431°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29905 KachelY 17828 -0.27448669 1.10207822 -15.726929 63.144431
    Oben rechts KachelX + 1 29906 KachelY 17828 -0.27439081 1.10207822 -15.721435 63.144431
    Unten links KachelX 29905 KachelY + 1 17829 -0.27448669 1.10203491 -15.726929 63.141949
    Unten rechts KachelX + 1 29906 KachelY + 1 17829 -0.27439081 1.10203491 -15.721435 63.141949
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10207822-1.10203491) × R
    4.33100000001296e-05 × 6371000     		dl = 275.928010000826m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10207822-1.10203491) × R
    4.33100000001296e-05 × 6371000     		dr = 275.928010000826m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27448669--0.27439081) × cos(1.10207822) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.451743018258869 × 6371000     		do = 275.947891283076m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27448669--0.27439081) × cos(1.10203491) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.451781656769707 × 6371000     		du = 275.971493674606m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10207822)-sin(1.10203491))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.451743018258869-0.451781656769707)×R²
    abs(-0.27439081--0.27448669)×3.86385108376297e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.86385108376297e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.86385108376297e-05×40589641000000     		ar = 76145.0087978594m²