Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29905 / 17827
↖ ↑ ↗
← N 63.146912°
W 15.726929°		 ← 275.92 m → N 63.146912°
W 15.721435°		 →
↑
275.93 m
↓
↑
275.93 m
↓
N 63.144431°
W 15.726929°		 ← 275.95 m →
76 138 m²		 N 63.144431°
W 15.721435°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29905 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17827 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456321716308594 y=0.272026062011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456321716308594 × 216)
    floor (0.456321716308594 × 65536)
    floor (29905.5)     		tx = 29905
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.272026062011719 × 216)
    floor (0.272026062011719 × 65536)
    floor (17827.5)     		ty = 17827
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29905 / 17827 ti = "16/29905/17827"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29905/17827.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29905 ÷ 216
    29905 ÷ 65536     		x = 0.456314086914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17827 ÷ 216
    17827 ÷ 65536     		y = 0.272018432617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456314086914062 × 2 - 1) × π
    -0.087371826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.27448669
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.272018432617188 × 2 - 1) × π
    0.455963134765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.43245043444652
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27448669} λ = -0.27448669}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43245043444652))-π/2
    2×atan(4.18895137638771)-π/2
    2×1.33645892937734-π/2
    2.67291785875469-1.57079632675     		φ = 1.10212153
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27448669} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.726929°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10212153 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.146912°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29905 KachelY 17827 -0.27448669 1.10212153 -15.726929 63.146912
    Oben rechts KachelX + 1 29906 KachelY 17827 -0.27439081 1.10212153 -15.721435 63.146912
    Unten links KachelX 29905 KachelY + 1 17828 -0.27448669 1.10207822 -15.726929 63.144431
    Unten rechts KachelX + 1 29906 KachelY + 1 17828 -0.27439081 1.10207822 -15.721435 63.144431
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10212153-1.10207822) × R
    4.33099999999076e-05 × 6371000     		dl = 275.928009999411m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10212153-1.10207822) × R
    4.33099999999076e-05 × 6371000     		dr = 275.928009999411m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27448669--0.27439081) × cos(1.10212153) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.451704378900672 × 6371000     		do = 275.924288373935m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27448669--0.27439081) × cos(1.10207822) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.451743018258869 × 6371000     		du = 275.947891283076m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10212153)-sin(1.10207822))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.451704378900672-0.451743018258869)×R²
    abs(-0.27439081--0.27448669)×3.86393581972011e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.86393581972011e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.86393581972011e-05×40589641000000     		ar = 76138.4961654761m²