Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29903 / 42950
↖ ↑ ↗
← S 48.712712°
W 15.737915°		 ← 403.02 m → S 48.712712°
W 15.732422°		 →
↑
403.03 m
↓
↑
403.03 m
↓
S 48.716337°
W 15.737915°		 ← 402.99 m →
162 423 m²		 S 48.716337°
W 15.732422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29903 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42950 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456291198730469 y=0.655372619628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456291198730469 × 216)
    floor (0.456291198730469 × 65536)
    floor (29903.5)     		tx = 29903
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655372619628906 × 216)
    floor (0.655372619628906 × 65536)
    floor (42950.5)     		ty = 42950
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29903 / 42950 ti = "16/29903/42950"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29903/42950.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29903 ÷ 216
    29903 ÷ 65536     		x = 0.456283569335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42950 ÷ 216
    42950 ÷ 65536     		y = 0.655364990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456283569335938 × 2 - 1) × π
    -0.087432861328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.27467843
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.655364990234375 × 2 - 1) × π
    -0.31072998046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.976187023862824
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27467843} λ = -0.27467843}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.976187023862824))-π/2
    2×atan(0.376744882870339)-π/2
    2×0.360299552344648-π/2
    0.720599104689296-1.57079632675     		φ = -0.85019722
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27467843} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.737915°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85019722 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.712712°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29903 KachelY 42950 -0.27467843 -0.85019722 -15.737915 -48.712712
    Oben rechts KachelX + 1 29904 KachelY 42950 -0.27458256 -0.85019722 -15.732422 -48.712712
    Unten links KachelX 29903 KachelY + 1 42951 -0.27467843 -0.85026048 -15.737915 -48.716337
    Unten rechts KachelX + 1 29904 KachelY + 1 42951 -0.27458256 -0.85026048 -15.732422 -48.716337
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85019722--0.85026048) × R
    6.32600000000094e-05 × 6371000     		dl = 403.02946000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85019722--0.85026048) × R
    6.32600000000094e-05 × 6371000     		dr = 403.02946000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27467843--0.27458256) × cos(-0.85019722) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.659834965529178 × 6371000     		do = 403.019127163585m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27467843--0.27458256) × cos(-0.85026048) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.659787429977392 × 6371000     		du = 402.990093029914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85019722)-sin(-0.85026048))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.659834965529178-0.659787429977392)×R²
    abs(-0.27458256--0.27467843)×4.75355517863818e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75355517863818e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75355517863818e-05×40589641000000     		ar = 162422.730438865m²