Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29903 / 29907
↖ ↑ ↗
← S 81.445041°
E148.524170°		 ← 181.73 m → S 81.445041°
E148.535156°		 →
↑
181.70 m
↓
↑
181.70 m
↓
S 81.446675°
E148.524170°		 ← 181.69 m →
33 017 m²		 S 81.446675°
E148.535156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29903 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29907 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912582397460938 y=0.912704467773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912582397460938 × 215)
    floor (0.912582397460938 × 32768)
    floor (29903.5)     		tx = 29903
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.912704467773438 × 215)
    floor (0.912704467773438 × 32768)
    floor (29907.5)     		ty = 29907
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29903 / 29907 ti = "15/29903/29907"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29903/29907.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29903 ÷ 215
    29903 ÷ 32768     		x = 0.912567138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29907 ÷ 215
    29907 ÷ 32768     		y = 0.912689208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912567138671875 × 2 - 1) × π
    0.82513427734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.59223578
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.912689208984375 × 2 - 1) × π
    -0.82537841796875 × 3.1415926535     		Φ = -2.59300277424808
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59223578} λ = 2.59223578}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.59300277424808))-π/2
    2×atan(0.0747951097174371)-π/2
    2×0.0746561003788426-π/2
    0.149312200757685-1.57079632675     		φ = -1.42148413
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59223578} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.524170°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42148413 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.445041°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29903 KachelY 29907 2.59223578 -1.42148413 148.524170 -81.445041
    Oben rechts KachelX + 1 29904 KachelY 29907 2.59242753 -1.42148413 148.535156 -81.445041
    Unten links KachelX 29903 KachelY + 1 29908 2.59223578 -1.42151265 148.524170 -81.446675
    Unten rechts KachelX + 1 29904 KachelY + 1 29908 2.59242753 -1.42151265 148.535156 -81.446675
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42148413--1.42151265) × R
    2.85199999998653e-05 × 6371000     		dl = 181.700919999142m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42148413--1.42151265) × R
    2.85199999998653e-05 × 6371000     		dr = 181.700919999142m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59223578-2.59242753) × cos(-1.42148413) × R
    0.000191749999999935 × 0.148758017263112 × 6371000     		do = 181.728632640734m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59223578-2.59242753) × cos(-1.42151265) × R
    0.000191749999999935 × 0.148729814526745 × 6371000     		du = 181.69417907103m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42148413)-sin(-1.42151265))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148758017263112-0.148729814526745)×R²
    abs(2.59242753-2.59223578)×2.82027363678883e-05×R²
    0.000191749999999935×2.82027363678883e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.82027363678883e-05×40589641000000     		ar = 33017.1296210514m²