Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29902 / 29610
↖ ↑ ↗
← S 80.945731°
E148.513184°		 ← 192.24 m → S 80.945731°
E148.524170°		 →
↑
192.21 m
↓
↑
192.21 m
↓
S 80.947460°
E148.513184°		 ← 192.20 m →
36 947 m²		 S 80.947460°
E148.524170°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29902 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29610 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912551879882812 y=0.903640747070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912551879882812 × 215)
    floor (0.912551879882812 × 32768)
    floor (29902.5)     		tx = 29902
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.903640747070312 × 215)
    floor (0.903640747070312 × 32768)
    floor (29610.5)     		ty = 29610
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29902 / 29610 ti = "15/29902/29610"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29902/29610.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29902 ÷ 215
    29902 ÷ 32768     		x = 0.91253662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29610 ÷ 215
    29610 ÷ 32768     		y = 0.90362548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91253662109375 × 2 - 1) × π
    0.8250732421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.59204404
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90362548828125 × 2 - 1) × π
    -0.8072509765625 × 3.1415926535     		Φ = -2.53605373749945
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59204404} λ = 2.59204404}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53605373749945))-π/2
    2×atan(0.079178242208048)-π/2
    2×0.0790134005650631-π/2
    0.158026801130126-1.57079632675     		φ = -1.41276953
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59204404} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.513184°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41276953 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.945731°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29902 KachelY 29610 2.59204404 -1.41276953 148.513184 -80.945731
    Oben rechts KachelX + 1 29903 KachelY 29610 2.59223578 -1.41276953 148.524170 -80.945731
    Unten links KachelX 29902 KachelY + 1 29611 2.59204404 -1.41279970 148.513184 -80.947460
    Unten rechts KachelX + 1 29903 KachelY + 1 29611 2.59223578 -1.41279970 148.524170 -80.947460
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41276953--1.41279970) × R
    3.01700000000515e-05 × 6371000     		dl = 192.213070000328m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41276953--1.41279970) × R
    3.01700000000515e-05 × 6371000     		dr = 192.213070000328m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59204404-2.59223578) × cos(-1.41276953) × R
    0.000191739999999996 × 0.157369897683544 × 6371000     		do = 192.239217742516m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59204404-2.59223578) × cos(-1.41279970) × R
    0.000191739999999996 × 0.15734010353832 × 6371000     		du = 192.202821943475m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41276953)-sin(-1.41279970))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157369897683544-0.15734010353832)×R²
    abs(2.59223578-2.59204404)×2.97941452247485e-05×R²
    0.000191739999999996×2.97941452247485e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.97941452247485e-05×40589641000000     		ar = 36947.3923447165m²