Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29902 / 13772
↖ ↑ ↗
← N 71.615214°
W 15.743408°		 ← 192.66 m → N 71.615214°
W 15.737915°		 →
↑
192.66 m
↓
↑
192.66 m
↓
N 71.613481°
W 15.743408°		 ← 192.68 m →
37 120 m²		 N 71.613481°
W 15.737915°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29902 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13772 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456275939941406 y=0.210151672363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456275939941406 × 216)
    floor (0.456275939941406 × 65536)
    floor (29902.5)     		tx = 29902
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.210151672363281 × 216)
    floor (0.210151672363281 × 65536)
    floor (13772.5)     		ty = 13772
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29902 / 13772 ti = "16/29902/13772"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29902/13772.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29902 ÷ 216
    29902 ÷ 65536     		x = 0.456268310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13772 ÷ 216
    13772 ÷ 65536     		y = 0.21014404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456268310546875 × 2 - 1) × π
    -0.08746337890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27477431
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21014404296875 × 2 - 1) × π
    0.5797119140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.82121869036517
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27477431} λ = -0.27477431}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82121869036517))-π/2
    2×atan(6.1793846194153)-π/2
    2×1.41035880187973-π/2
    2.82071760375945-1.57079632675     		φ = 1.24992128
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27477431} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.743408°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24992128 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.615214°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29902 KachelY 13772 -0.27477431 1.24992128 -15.743408 71.615214
    Oben rechts KachelX + 1 29903 KachelY 13772 -0.27467843 1.24992128 -15.737915 71.615214
    Unten links KachelX 29902 KachelY + 1 13773 -0.27477431 1.24989104 -15.743408 71.613481
    Unten rechts KachelX + 1 29903 KachelY + 1 13773 -0.27467843 1.24989104 -15.737915 71.613481
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24992128-1.24989104) × R
    3.02399999998482e-05 × 6371000     		dl = 192.659039999033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24992128-1.24989104) × R
    3.02399999998482e-05 × 6371000     		dr = 192.659039999033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27477431--0.27467843) × cos(1.24992128) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.315397065487426 × 6371000     		do = 192.660764240748m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27477431--0.27467843) × cos(1.24989104) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.315425761887391 × 6371000     		du = 192.678293479137m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24992128)-sin(1.24989104))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.315397065487426-0.315425761887391)×R²
    abs(-0.27467843--0.27477431)×2.86963999646672e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.86963999646672e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.86963999646672e-05×40589641000000     		ar = 37119.5264699436m²