Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 29901 / 29626
↖ ↑ ↗
← S 80.973352°
E148.502197°		 ← 191.67 m → S 80.973352°
E148.513184°		 →
↑
191.64 m
↓
↑
191.64 m
↓
S 80.975076°
E148.502197°		 ← 191.63 m →
36 728 m²		 S 80.975076°
E148.513184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29901 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29626 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912521362304688 y=0.904129028320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912521362304688 × 215)
    floor (0.912521362304688 × 32768)
    floor (29901.5)     		tx = 29901
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.904129028320312 × 215)
    floor (0.904129028320312 × 32768)
    floor (29626.5)     		ty = 29626
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29901 / 29626 ti = "15/29901/29626"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29901/29626.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29901 ÷ 215
    29901 ÷ 32768     		x = 0.912506103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29626 ÷ 215
    29626 ÷ 32768     		y = 0.90411376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912506103515625 × 2 - 1) × π
    0.82501220703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.59185229
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90411376953125 × 2 - 1) × π
    -0.8082275390625 × 3.1415926535     		Φ = -2.53912169907513
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59185229} λ = 2.59185229}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53912169907513))-π/2
    2×atan(0.0789356986507235)-π/2
    2×0.0787723634917018-π/2
    0.157544726983404-1.57079632675     		φ = -1.41325160
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59185229} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.502197°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41325160 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.973352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29901 KachelY 29626 2.59185229 -1.41325160 148.502197 -80.973352
    Oben rechts KachelX + 1 29902 KachelY 29626 2.59204404 -1.41325160 148.513184 -80.973352
    Unten links KachelX 29901 KachelY + 1 29627 2.59185229 -1.41328168 148.502197 -80.975076
    Unten rechts KachelX + 1 29902 KachelY + 1 29627 2.59204404 -1.41328168 148.513184 -80.975076
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41325160--1.41328168) × R
    3.00800000001544e-05 × 6371000     		dl = 191.639680000984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41325160--1.41328168) × R
    3.00800000001544e-05 × 6371000     		dr = 191.639680000984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59185229-2.59204404) × cos(-1.41325160) × R
    0.000191750000000379 × 0.156893816139369 × 6371000     		do = 191.667643878516m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59185229-2.59204404) × cos(-1.41328168) × R
    0.000191750000000379 × 0.156864108594845 × 6371000     		du = 191.631351976104m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41325160)-sin(-1.41328168))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156893816139369-0.156864108594845)×R²
    abs(2.59204404-2.59185229)×2.97075445238326e-05×R²
    0.000191750000000379×2.97075445238326e-05×6371000²
    0.000191750000000379×2.97075445238326e-05×40589641000000     		ar = 36727.6484580958m²