Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29901 / 17829
↖ ↑ ↗
← N 63.141949°
W 15.748901°		 ← 275.94 m → N 63.141949°
W 15.743408°		 →
↑
275.93 m
↓
↑
275.93 m
↓
N 63.139468°
W 15.748901°		 ← 275.97 m →
76 144 m²		 N 63.139468°
W 15.743408°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29901 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17829 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456260681152344 y=0.272056579589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456260681152344 × 216)
    floor (0.456260681152344 × 65536)
    floor (29901.5)     		tx = 29901
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.272056579589844 × 216)
    floor (0.272056579589844 × 65536)
    floor (17829.5)     		ty = 17829
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29901 / 17829 ti = "16/29901/17829"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29901/17829.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29901 ÷ 216
    29901 ÷ 65536     		x = 0.456253051757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17829 ÷ 216
    17829 ÷ 65536     		y = 0.272048950195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456253051757812 × 2 - 1) × π
    -0.087493896484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27487018
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.272048950195312 × 2 - 1) × π
    0.455902099609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.43225868684804
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27487018} λ = -0.27487018}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43225868684804))-π/2
    2×atan(4.1881482320241)-π/2
    2×1.33641561905816-π/2
    2.67283123811633-1.57079632675     		φ = 1.10203491
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27487018} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.748901°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10203491 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.141949°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29901 KachelY 17829 -0.27487018 1.10203491 -15.748901 63.141949
    Oben rechts KachelX + 1 29902 KachelY 17829 -0.27477431 1.10203491 -15.743408 63.141949
    Unten links KachelX 29901 KachelY + 1 17830 -0.27487018 1.10199160 -15.748901 63.139468
    Unten rechts KachelX + 1 29902 KachelY + 1 17830 -0.27477431 1.10199160 -15.743408 63.139468
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10203491-1.10199160) × R
    4.33099999999076e-05 × 6371000     		dl = 275.928009999411m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10203491-1.10199160) × R
    4.33099999999076e-05 × 6371000     		dr = 275.928009999411m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27487018--0.27477431) × cos(1.10203491) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.451781656769707 × 6371000     		do = 275.942710665269m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27487018--0.27477431) × cos(1.10199160) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.451820294433112 × 6371000     		du = 275.966310077538m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10203491)-sin(1.10199160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.451781656769707-0.451820294433112)×R²
    abs(-0.27477431--0.27487018)×3.86376634052277e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.86376634052277e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.86376634052277e-05×40589641000000     		ar = 76143.5789091253m²