Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29900 / 17764
↖ ↑ ↗
← N 63.302813°
W 15.754395°		 ← 274.44 m → N 63.302813°
W 15.748901°		 →
↑
274.46 m
↓
↑
274.46 m
↓
N 63.300345°
W 15.754395°		 ← 274.46 m →
75 327 m²		 N 63.300345°
W 15.748901°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29900 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17764 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456245422363281 y=0.271064758300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456245422363281 × 216)
    floor (0.456245422363281 × 65536)
    floor (29900.5)     		tx = 29900
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.271064758300781 × 216)
    floor (0.271064758300781 × 65536)
    floor (17764.5)     		ty = 17764
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29900 / 17764 ti = "16/29900/17764"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29900/17764.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29900 ÷ 216
    29900 ÷ 65536     		x = 0.45623779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17764 ÷ 216
    17764 ÷ 65536     		y = 0.27105712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45623779296875 × 2 - 1) × π
    -0.0875244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27496606
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27105712890625 × 2 - 1) × π
    0.4578857421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.43849048379864
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27496606} λ = -0.27496606}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43849048379864))-π/2
    2×atan(4.21432941458249)-π/2
    2×1.33781941710971-π/2
    2.67563883421943-1.57079632675     		φ = 1.10484251
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27496606} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.754395°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10484251 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.302813°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29900 KachelY 17764 -0.27496606 1.10484251 -15.754395 63.302813
    Oben rechts KachelX + 1 29901 KachelY 17764 -0.27487018 1.10484251 -15.748901 63.302813
    Unten links KachelX 29900 KachelY + 1 17765 -0.27496606 1.10479943 -15.754395 63.300345
    Unten rechts KachelX + 1 29901 KachelY + 1 17765 -0.27487018 1.10479943 -15.748901 63.300345
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10484251-1.10479943) × R
    4.30800000001952e-05 × 6371000     		dl = 274.462680001244m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10484251-1.10479943) × R
    4.30800000001952e-05 × 6371000     		dr = 274.462680001244m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27496606--0.27487018) × cos(1.10484251) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.449275139357281 × 6371000     		do = 274.44038380358m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27496606--0.27487018) × cos(1.10479943) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.449313626330016 × 6371000     		du = 274.463893627836m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10484251)-sin(1.10479943))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.449275139357281-0.449313626330016)×R²
    abs(-0.27487018--0.27496606)×3.84869727352855e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.84869727352855e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.84869727352855e-05×40589641000000     		ar = 75326.8695354424m²