Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2990 / 3425
↖ ↑ ↗
← N 28.265682°
W 48.603516°		 ← 4 303.83 m → N 28.265682°
W 48.559571°		 →
↑
4 304.57 m
↓
↑
4 304.57 m
↓
N 28.226970°
W 48.603516°		 ← 4 305.40 m →
18 529 500 m²		 N 28.226970°
W 48.559571°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2990 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3425 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.36505126953125 y=0.41815185546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.36505126953125 × 213)
    floor (0.36505126953125 × 8192)
    floor (2990.5)     		tx = 2990
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.41815185546875 × 213)
    floor (0.41815185546875 × 8192)
    floor (3425.5)     		ty = 3425
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2990 / 3425 ti = "13/2990/3425"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2990/3425.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2990 ÷ 213
    2990 ÷ 8192     		x = 0.364990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3425 ÷ 213
    3425 ÷ 8192     		y = 0.4180908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364990234375 × 2 - 1) × π
    -0.27001953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.84829138
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4180908203125 × 2 - 1) × π
    0.163818359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.514650554320923
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84829138} λ = -0.84829138}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.514650554320923))-π/2
    2×atan(1.67305375822875)-π/2
    2×1.03206277490649-π/2
    2.06412554981298-1.57079632675     		φ = 0.49332922
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84829138} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.603516°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49332922 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.265682°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2990 KachelY 3425 -0.84829138 0.49332922 -48.603516 28.265682
    Oben rechts KachelX + 1 2991 KachelY 3425 -0.84752439 0.49332922 -48.559571 28.265682
    Unten links KachelX 2990 KachelY + 1 3426 -0.84829138 0.49265357 -48.603516 28.226970
    Unten rechts KachelX + 1 2991 KachelY + 1 3426 -0.84752439 0.49265357 -48.559571 28.226970
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49332922-0.49265357) × R
    0.000675650000000028 × 6371000     		dl = 4304.56615000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49332922-0.49265357) × R
    0.000675650000000028 × 6371000     		dr = 4304.56615000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84829138--0.84752439) × cos(0.49332922) × R
    0.000766990000000023 × 0.880761154630661 × 6371000     		do = 4303.83347219551m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84829138--0.84752439) × cos(0.49265357) × R
    0.000766990000000023 × 0.88108091489529 × 6371000     		du = 4305.39597858302m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49332922)-sin(0.49265357))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880761154630661-0.88108091489529)×R²
    abs(-0.84752439--0.84829138)×0.000319760264628766×R²
    0.000766990000000023×0.000319760264628766×6371000²
    0.000766990000000023×0.000319760264628766×40589641000000     		ar = 18529499.5406001m²