Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 299 / 99
↖ ↑ ↗
← N 83.298250°
W127.441406°		 ← 2 281.04 m → N 83.298250°
W127.265625°		 →
↑
2 284.51 m
↓
↑
2 284.51 m
↓
N 83.277705°
W127.441406°		 ← 2 288 m →
5 219 008 m²		 N 83.277705°
W127.265625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 299 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.146240234375 y=0.048583984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.146240234375 × 211)
    floor (0.146240234375 × 2048)
    floor (299.5)     		tx = 299
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.048583984375 × 211)
    floor (0.048583984375 × 2048)
    floor (99.5)     		ty = 99
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 299 / 99 ti = "11/299/99"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/299/99.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 299 ÷ 211
    299 ÷ 2048     		x = 0.14599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99 ÷ 211
    99 ÷ 2048     		y = 0.04833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.14599609375 × 2 - 1) × π
    -0.7080078125 × 3.1415926535     		Λ = -2.22427214
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.04833984375 × 2 - 1) × π
    0.9033203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.83786445750732
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.22427214} λ = -2.22427214}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.83786445750732))-π/2
    2×atan(17.0792530933606)-π/2
    2×1.51231252681871-π/2
    3.02462505363742-1.57079632675     		φ = 1.45382873
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.22427214} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.441406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.45382873 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 83.298250°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 299 KachelY 99 -2.22427214 1.45382873 -127.441406 83.298250
    Oben rechts KachelX + 1 300 KachelY 99 -2.22120418 1.45382873 -127.265625 83.298250
    Unten links KachelX 299 KachelY + 1 100 -2.22427214 1.45347015 -127.441406 83.277705
    Unten rechts KachelX + 1 300 KachelY + 1 100 -2.22120418 1.45347015 -127.265625 83.277705
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.45382873-1.45347015) × R
    0.000358579999999886 × 6371000     		dl = 2284.51317999928m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.45382873-1.45347015) × R
    0.000358579999999886 × 6371000     		dr = 2284.51317999928m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.22427214--2.22120418) × cos(1.45382873) × R
    0.00306796000000009 × 0.116701065408938 × 6371000     		do = 2281.03589222658m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.22427214--2.22120418) × cos(1.45347015) × R
    0.00306796000000009 × 0.117057187752427 × 6371000     		du = 2287.99664999408m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.45382873)-sin(1.45347015))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.116701065408938-0.117057187752427)×R²
    abs(-2.22120418--2.22427214)×0.000356122343488585×R²
    0.00306796000000009×0.000356122343488585×6371000²
    0.00306796000000009×0.000356122343488585×40589641000000     		ar = 5219007.58720734m²