Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 299 / 231
↖ ↑ ↗
← N 17.308688°
E 30.234375°		 ← 74.643 km → N 17.308688°
E 30.937500°		 →
↑
74.778 km
↓
↑
74.778 km
↓
N 16.636192°
E 30.234375°		 ← 74.911 km →
5 591.78 km²		 N 16.636192°
E 30.937500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 299 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 231 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5849609375 y=0.4521484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5849609375 × 29)
    floor (0.5849609375 × 512)
    floor (299.5)     		tx = 299
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4521484375 × 29)
    floor (0.4521484375 × 512)
    floor (231.5)     		ty = 231
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 299 / 231 ti = "9/299/231"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/299/231.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 299 ÷ 29
    299 ÷ 512     		x = 0.583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 231 ÷ 29
    231 ÷ 512     		y = 0.451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583984375 × 2 - 1) × π
    0.16796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.52768939
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.451171875 × 2 - 1) × π
    0.09765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.306796157568359
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52768939} λ = 0.52768939}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.306796157568359))-π/2
    2×atan(1.35906390494319)-π/2
    2×0.936444959805361-π/2
    1.87288991961072-1.57079632675     		φ = 0.30209359
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52768939} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.234375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30209359 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.308688°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 299 KachelY 231 0.52768939 0.30209359 30.234375 17.308688
    Oben rechts KachelX + 1 300 KachelY 231 0.53996124 0.30209359 30.937500 17.308688
    Unten links KachelX 299 KachelY + 1 232 0.52768939 0.29035632 30.234375 16.636192
    Unten rechts KachelX + 1 300 KachelY + 1 232 0.53996124 0.29035632 30.937500 16.636192
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30209359-0.29035632) × R
    0.01173727 × 6371000     		dl = 74778.1471700001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30209359-0.29035632) × R
    0.01173727 × 6371000     		dr = 74778.1471700001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52768939-0.53996124) × cos(0.30209359) × R
    0.01227185 × 0.954715697752077 × 6371000     		do = 74643.450439708m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52768939-0.53996124) × cos(0.29035632) × R
    0.01227185 × 0.958141924186794 × 6371000     		du = 74911.3263777252m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30209359)-sin(0.29035632))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.954715697752077-0.958141924186794)×R²
    abs(0.53996124-0.52768939)×0.00342622643471713×R²
    0.01227185×0.00342622643471713×6371000²
    0.01227185×0.00342622643471713×40589641000000     		ar = 5591778750.81695m²