Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 299 / 184
↖ ↑ ↗
← N 81.308321°
W127.441406°		 ← 2 953.73 m → N 81.308321°
W127.265625°		 →
↑
2 958.25 m
↓
↑
2 958.25 m
↓
N 81.281717°
W127.441406°		 ← 2 962.71 m →
8 751 143 m²		 N 81.281717°
W127.265625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 299 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 184 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.146240234375 y=0.090087890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.146240234375 × 211)
    floor (0.146240234375 × 2048)
    floor (299.5)     		tx = 299
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.090087890625 × 211)
    floor (0.090087890625 × 2048)
    floor (184.5)     		ty = 184
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 299 / 184 ti = "11/299/184"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/299/184.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 299 ÷ 211
    299 ÷ 2048     		x = 0.14599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 184 ÷ 211
    184 ÷ 2048     		y = 0.08984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.14599609375 × 2 - 1) × π
    -0.7080078125 × 3.1415926535     		Λ = -2.22427214
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08984375 × 2 - 1) × π
    0.8203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.57708772357422
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.22427214} λ = -2.22427214}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57708772357422))-π/2
    2×atan(13.1587603558195)-π/2
    2×1.49494711788296-π/2
    2.98989423576593-1.57079632675     		φ = 1.41909791
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.22427214} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.441406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41909791 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.308321°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 299 KachelY 184 -2.22427214 1.41909791 -127.441406 81.308321
    Oben rechts KachelX + 1 300 KachelY 184 -2.22120418 1.41909791 -127.265625 81.308321
    Unten links KachelX 299 KachelY + 1 185 -2.22427214 1.41863358 -127.441406 81.281717
    Unten rechts KachelX + 1 300 KachelY + 1 185 -2.22120418 1.41863358 -127.265625 81.281717
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41909791-1.41863358) × R
    0.000464330000000013 × 6371000     		dl = 2958.24643000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41909791-1.41863358) × R
    0.000464330000000013 × 6371000     		dr = 2958.24643000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.22427214--2.22120418) × cos(1.41909791) × R
    0.00306796000000009 × 0.151117261535263 × 6371000     		do = 2953.73393798104m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.22427214--2.22120418) × cos(1.41863358) × R
    0.00306796000000009 × 0.151576242789862 × 6371000     		du = 2962.70517326437m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41909791)-sin(1.41863358))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151117261535263-0.151576242789862)×R²
    abs(-2.22120418--2.22427214)×0.000458981254598506×R²
    0.00306796000000009×0.000458981254598506×6371000²
    0.00306796000000009×0.000458981254598506×40589641000000     		ar = 8751142.59680776m²