Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 29899 / 29615
↖ ↑ ↗
← S 80.954372°
E148.480224°		 ← 192.07 m → S 80.954372°
E148.491211°		 →
↑
192.02 m
↓
↑
192.02 m
↓
S 80.956099°
E148.480224°		 ← 192.03 m →
36 878 m²		 S 80.956099°
E148.491211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29899 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29615 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912460327148438 y=0.903793334960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912460327148438 × 215)
    floor (0.912460327148438 × 32768)
    floor (29899.5)     		tx = 29899
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.903793334960938 × 215)
    floor (0.903793334960938 × 32768)
    floor (29615.5)     		ty = 29615
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29899 / 29615 ti = "15/29899/29615"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29899/29615.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29899 ÷ 215
    29899 ÷ 32768     		x = 0.912445068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29615 ÷ 215
    29615 ÷ 32768     		y = 0.903778076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912445068359375 × 2 - 1) × π
    0.82489013671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.59146879
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.903778076171875 × 2 - 1) × π
    -0.80755615234375 × 3.1415926535     		Φ = -2.53701247549185
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59146879} λ = 2.59146879}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53701247549185))-π/2
    2×atan(0.0791023673969155)-π/2
    2×0.0789379980143053-π/2
    0.157875996028611-1.57079632675     		φ = -1.41292033
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59146879} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.480224°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41292033 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.954372°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29899 KachelY 29615 2.59146879 -1.41292033 148.480224 -80.954372
    Oben rechts KachelX + 1 29900 KachelY 29615 2.59166054 -1.41292033 148.491211 -80.954372
    Unten links KachelX 29899 KachelY + 1 29616 2.59146879 -1.41295047 148.480224 -80.956099
    Unten rechts KachelX + 1 29900 KachelY + 1 29616 2.59166054 -1.41295047 148.491211 -80.956099
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41292033--1.41295047) × R
    3.01400000000118e-05 × 6371000     		dl = 192.021940000075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41292033--1.41295047) × R
    3.01400000000118e-05 × 6371000     		dr = 192.021940000075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59146879-2.59166054) × cos(-1.41292033) × R
    0.000191749999999935 × 0.15722097490371 × 6371000     		do = 192.067313865572m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59146879-2.59166054) × cos(-1.41295047) × R
    0.000191749999999935 × 0.157191209669962 × 6371000     		du = 192.03095148774m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41292033)-sin(-1.41295047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15722097490371-0.157191209669962)×R²
    abs(2.59166054-2.59146879)×2.97652337482301e-05×R²
    0.000191749999999935×2.97652337482301e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.97652337482301e-05×40589641000000     		ar = 36877.6470351533m²