Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29898 / 29609
↖ ↑ ↗
← S 80.944002°
E148.469239°		 ← 192.28 m → S 80.944002°
E148.480224°		 →
↑
192.28 m
↓
↑
192.28 m
↓
S 80.945731°
E148.469239°		 ← 192.24 m →
36 967 m²		 S 80.945731°
E148.480224°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29898 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29609 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912429809570312 y=0.903610229492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912429809570312 × 215)
    floor (0.912429809570312 × 32768)
    floor (29898.5)     		tx = 29898
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.903610229492188 × 215)
    floor (0.903610229492188 × 32768)
    floor (29609.5)     		ty = 29609
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29898 / 29609 ti = "15/29898/29609"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29898/29609.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29898 ÷ 215
    29898 ÷ 32768     		x = 0.91241455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29609 ÷ 215
    29609 ÷ 32768     		y = 0.903594970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91241455078125 × 2 - 1) × π
    0.8248291015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.59127705
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.903594970703125 × 2 - 1) × π
    -0.80718994140625 × 3.1415926535     		Φ = -2.53586198990097
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59127705} λ = 2.59127705}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53586198990097))-π/2
    2×atan(0.0791934259015151)-π/2
    2×0.0790284896440248-π/2
    0.15805697928805-1.57079632675     		φ = -1.41273935
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59127705} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.469239°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41273935 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.944002°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29898 KachelY 29609 2.59127705 -1.41273935 148.469239 -80.944002
    Oben rechts KachelX + 1 29899 KachelY 29609 2.59146879 -1.41273935 148.480224 -80.944002
    Unten links KachelX 29898 KachelY + 1 29610 2.59127705 -1.41276953 148.469239 -80.945731
    Unten rechts KachelX + 1 29899 KachelY + 1 29610 2.59146879 -1.41276953 148.480224 -80.945731
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41273935--1.41276953) × R
    3.01799999999908e-05 × 6371000     		dl = 192.276779999941m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41273935--1.41276953) × R
    3.01799999999908e-05 × 6371000     		dr = 192.276779999941m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59127705-2.59146879) × cos(-1.41273935) × R
    0.000191739999999996 × 0.157399701560876 × 6371000     		do = 192.275625430062m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59127705-2.59146879) × cos(-1.41276953) × R
    0.000191739999999996 × 0.157369897683544 × 6371000     		du = 192.239217742516m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41273935)-sin(-1.41276953))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157399701560876-0.157369897683544)×R²
    abs(2.59146879-2.59127705)×2.9803877331841e-05×R²
    0.000191739999999996×2.9803877331841e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.9803877331841e-05×40589641000000     		ar = 36966.6379563775m²