Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29898 / 29605
↖ ↑ ↗
← S 80.937083°
E148.469239°		 ← 192.42 m → S 80.937083°
E148.480224°		 →
↑
192.40 m
↓
↑
192.40 m
↓
S 80.938813°
E148.469239°		 ← 192.38 m →
37 019 m²		 S 80.938813°
E148.480224°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29898 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29605 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912429809570312 y=0.903488159179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912429809570312 × 215)
    floor (0.912429809570312 × 32768)
    floor (29898.5)     		tx = 29898
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.903488159179688 × 215)
    floor (0.903488159179688 × 32768)
    floor (29605.5)     		ty = 29605
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29898 / 29605 ti = "15/29898/29605"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29898/29605.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29898 ÷ 215
    29898 ÷ 32768     		x = 0.91241455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29605 ÷ 215
    29605 ÷ 32768     		y = 0.903472900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91241455078125 × 2 - 1) × π
    0.8248291015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.59127705
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.903472900390625 × 2 - 1) × π
    -0.80694580078125 × 3.1415926535     		Φ = -2.53509499950705
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59127705} λ = 2.59127705}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53509499950705))-π/2
    2×atan(0.079254189798127)-π/2
    2×0.0790888745401482-π/2
    0.158177749080296-1.57079632675     		φ = -1.41261858
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59127705} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.469239°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41261858 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.937083°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29898 KachelY 29605 2.59127705 -1.41261858 148.469239 -80.937083
    Oben rechts KachelX + 1 29899 KachelY 29605 2.59146879 -1.41261858 148.480224 -80.937083
    Unten links KachelX 29898 KachelY + 1 29606 2.59127705 -1.41264878 148.469239 -80.938813
    Unten rechts KachelX + 1 29899 KachelY + 1 29606 2.59146879 -1.41264878 148.480224 -80.938813
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41261858--1.41264878) × R
    3.02000000000913e-05 × 6371000     		dl = 192.404200000581m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41261858--1.41264878) × R
    3.02000000000913e-05 × 6371000     		dr = 192.404200000581m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59127705-2.59146879) × cos(-1.41261858) × R
    0.000191739999999996 × 0.157518965012083 × 6371000     		do = 192.421314744872m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59127705-2.59146879) × cos(-1.41264878) × R
    0.000191739999999996 × 0.157489141958196 × 6371000     		du = 192.384883631716m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41261858)-sin(-1.41264878))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157518965012083-0.157489141958196)×R²
    abs(2.59146879-2.59127705)×2.98230538867406e-05×R²
    0.000191739999999996×2.98230538867406e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.98230538867406e-05×40589641000000     		ar = 37019.1643796654m²