Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29897 / 29607
↖ ↑ ↗
← S 80.940543°
E148.458252°		 ← 192.36 m → S 80.940543°
E148.469239°		 →
↑
192.34 m
↓
↑
192.34 m
↓
S 80.942273°
E148.458252°		 ← 192.32 m →
36 995 m²		 S 80.942273°
E148.469239°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29897 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29607 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912399291992188 y=0.903549194335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912399291992188 × 215)
    floor (0.912399291992188 × 32768)
    floor (29897.5)     		tx = 29897
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.903549194335938 × 215)
    floor (0.903549194335938 × 32768)
    floor (29607.5)     		ty = 29607
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29897 / 29607 ti = "15/29897/29607"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29897/29607.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29897 ÷ 215
    29897 ÷ 32768     		x = 0.912384033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29607 ÷ 215
    29607 ÷ 32768     		y = 0.903533935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912384033203125 × 2 - 1) × π
    0.82476806640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.59108530
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.903533935546875 × 2 - 1) × π
    -0.80706787109375 × 3.1415926535     		Φ = -2.53547849470401
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59108530} λ = 2.59108530}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53547849470401))-π/2
    2×atan(0.0792238020241555)-π/2
    2×0.0790586763749763-π/2
    0.158117352749953-1.57079632675     		φ = -1.41267897
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59108530} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.458252°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41267897 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.940543°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29897 KachelY 29607 2.59108530 -1.41267897 148.458252 -80.940543
    Oben rechts KachelX + 1 29898 KachelY 29607 2.59127705 -1.41267897 148.469239 -80.940543
    Unten links KachelX 29897 KachelY + 1 29608 2.59108530 -1.41270916 148.458252 -80.942273
    Unten rechts KachelX + 1 29898 KachelY + 1 29608 2.59127705 -1.41270916 148.469239 -80.942273
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41267897--1.41270916) × R
    3.018999999993e-05 × 6371000     		dl = 192.340489999554m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41267897--1.41270916) × R
    3.018999999993e-05 × 6371000     		dr = 192.340489999554m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59108530-2.59127705) × cos(-1.41267897) × R
    0.000191749999999935 × 0.157459328635928 × 6371000     		do = 192.358496140234m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59108530-2.59127705) × cos(-1.41270916) × R
    0.000191749999999935 × 0.157429515170146 × 6371000     		du = 192.322074840255m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41267897)-sin(-1.41270916))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157459328635928-0.157429515170146)×R²
    abs(2.59127705-2.59108530)×2.98134657823468e-05×R²
    0.000191749999999935×2.98134657823468e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.98134657823468e-05×40589641000000     		ar = 36994.8247605481m²