Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29897 / 19465
↖ ↑ ↗
← N 58.788132°
W 15.770874°		 ← 316.55 m → N 58.788132°
W 15.765381°		 →
↑
316.51 m
↓
↑
316.51 m
↓
N 58.785285°
W 15.770874°		 ← 316.57 m →
100 194 m²		 N 58.785285°
W 15.765381°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29897 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19465 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456199645996094 y=0.297019958496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456199645996094 × 216)
    floor (0.456199645996094 × 65536)
    floor (29897.5)     		tx = 29897
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297019958496094 × 216)
    floor (0.297019958496094 × 65536)
    floor (19465.5)     		ty = 19465
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29897 / 19465 ti = "16/29897/19465"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29897/19465.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29897 ÷ 216
    29897 ÷ 65536     		x = 0.456192016601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19465 ÷ 216
    19465 ÷ 65536     		y = 0.297012329101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456192016601562 × 2 - 1) × π
    -0.087615966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.27525368
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.297012329101562 × 2 - 1) × π
    0.405975341796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.27540915129121
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27525368} λ = -0.27525368}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27540915129121))-π/2
    2×atan(3.58016593999111)-π/2
    2×1.29842139513356-π/2
    2.59684279026711-1.57079632675     		φ = 1.02604646
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27525368} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.770874°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02604646 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.788132°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29897 KachelY 19465 -0.27525368 1.02604646 -15.770874 58.788132
    Oben rechts KachelX + 1 29898 KachelY 19465 -0.27515780 1.02604646 -15.765381 58.788132
    Unten links KachelX 29897 KachelY + 1 19466 -0.27525368 1.02599678 -15.770874 58.785285
    Unten rechts KachelX + 1 29898 KachelY + 1 19466 -0.27515780 1.02599678 -15.765381 58.785285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02604646-1.02599678) × R
    4.96800000000519e-05 × 6371000     		dl = 316.511280000331m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02604646-1.02599678) × R
    4.96800000000519e-05 × 6371000     		dr = 316.511280000331m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27525368--0.27515780) × cos(1.02604646) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.518204178558899 × 6371000     		do = 316.545789414864m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27525368--0.27515780) × cos(1.02599678) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.518246667084052 × 6371000     		du = 316.571743593336m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02604646)-sin(1.02599678))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.518204178558899-0.518246667084052)×R²
    abs(-0.27515780--0.27525368)×4.24885251523177e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.24885251523177e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.24885251523177e-05×40589641000000     		ar = 100194.420402277m²