Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29896 / 29608
↖ ↑ ↗
← S 80.942273°
E148.447266°		 ← 192.32 m → S 80.942273°
E148.458252°		 →
↑
192.34 m
↓
↑
192.34 m
↓
S 80.944002°
E148.447266°		 ← 192.29 m →
36 988 m²		 S 80.944002°
E148.458252°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29896 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29608 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912368774414062 y=0.903579711914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912368774414062 × 215)
    floor (0.912368774414062 × 32768)
    floor (29896.5)     		tx = 29896
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.903579711914062 × 215)
    floor (0.903579711914062 × 32768)
    floor (29608.5)     		ty = 29608
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29896 / 29608 ti = "15/29896/29608"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29896/29608.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29896 ÷ 215
    29896 ÷ 32768     		x = 0.912353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29608 ÷ 215
    29608 ÷ 32768     		y = 0.903564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912353515625 × 2 - 1) × π
    0.82470703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.59089355
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.903564453125 × 2 - 1) × π
    -0.80712890625 × 3.1415926535     		Φ = -2.53567024230249
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59089355} λ = 2.59089355}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53567024230249))-π/2
    2×atan(0.0792086125066982)-π/2
    2×0.0790435815804868-π/2
    0.158087163160974-1.57079632675     		φ = -1.41270916
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59089355} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.447266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41270916 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.942273°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29896 KachelY 29608 2.59089355 -1.41270916 148.447266 -80.942273
    Oben rechts KachelX + 1 29897 KachelY 29608 2.59108530 -1.41270916 148.458252 -80.942273
    Unten links KachelX 29896 KachelY + 1 29609 2.59089355 -1.41273935 148.447266 -80.944002
    Unten rechts KachelX + 1 29897 KachelY + 1 29609 2.59108530 -1.41273935 148.458252 -80.944002
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41270916--1.41273935) × R
    3.0190000000152e-05 × 6371000     		dl = 192.340490000969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41270916--1.41273935) × R
    3.0190000000152e-05 × 6371000     		dr = 192.340490000969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59089355-2.59108530) × cos(-1.41270916) × R
    0.000191749999999935 × 0.157429515170146 × 6371000     		do = 192.322074840255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59089355-2.59108530) × cos(-1.41273935) × R
    0.000191749999999935 × 0.157399701560876 × 6371000     		du = 192.285653364988m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41270916)-sin(-1.41273935))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157429515170146-0.157399701560876)×R²
    abs(2.59108530-2.59089355)×2.98136092695134e-05×R²
    0.000191749999999935×2.98136092695134e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.98136092695134e-05×40589641000000     		ar = 36987.8194539735m²