Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29896 / 15175
↖ ↑ ↗
← N 69.023380°
W 15.776367°		 ← 218.65 m → N 69.023380°
W 15.770874°		 →
↑
218.65 m
↓
↑
218.65 m
↓
N 69.021414°
W 15.776367°		 ← 218.67 m →
47 811 m²		 N 69.021414°
W 15.770874°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29896 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15175 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456184387207031 y=0.231559753417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456184387207031 × 216)
    floor (0.456184387207031 × 65536)
    floor (29896.5)     		tx = 29896
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.231559753417969 × 216)
    floor (0.231559753417969 × 65536)
    floor (15175.5)     		ty = 15175
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29896 / 15175 ti = "16/29896/15175"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29896/15175.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29896 ÷ 216
    29896 ÷ 65536     		x = 0.4561767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15175 ÷ 216
    15175 ÷ 65536     		y = 0.231552124023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4561767578125 × 2 - 1) × π
    -0.087646484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27534955
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.231552124023438 × 2 - 1) × π
    0.536895751953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.6867077500313
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27534955} λ = -0.27534955}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.6867077500313))-π/2
    2×atan(5.40166775837545)-π/2
    2×1.38774079005374-π/2
    2.77548158010748-1.57079632675     		φ = 1.20468525
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27534955} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.776367°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20468525 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.023380°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29896 KachelY 15175 -0.27534955 1.20468525 -15.776367 69.023380
    Oben rechts KachelX + 1 29897 KachelY 15175 -0.27525368 1.20468525 -15.770874 69.023380
    Unten links KachelX 29896 KachelY + 1 15176 -0.27534955 1.20465093 -15.776367 69.021414
    Unten rechts KachelX + 1 29897 KachelY + 1 15176 -0.27525368 1.20465093 -15.770874 69.021414
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20468525-1.20465093) × R
    3.43200000001431e-05 × 6371000     		dl = 218.652720000912m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20468525-1.20465093) × R
    3.43200000001431e-05 × 6371000     		dr = 218.652720000912m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27534955--0.27525368) × cos(1.20468525) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.357986957172522 × 6371000     		do = 218.654055260485m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27534955--0.27525368) × cos(1.20465093) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.358019002458138 × 6371000     		du = 218.673628129026m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20468525)-sin(1.20465093))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357986957172522-0.358019002458138)×R²
    abs(-0.27525368--0.27534955)×3.20452856156783e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.20452856156783e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.20452856156783e-05×40589641000000     		ar = 47811.4437569869m²