Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29895 / 42600
↖ ↑ ↗
← S 47.428087°
W 15.781861°		 ← 413.25 m → S 47.428087°
W 15.776367°		 →
↑
413.22 m
↓
↑
413.22 m
↓
S 47.431803°
W 15.781861°		 ← 413.22 m →
170 758 m²		 S 47.431803°
W 15.776367°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29895 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42600 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456169128417969 y=0.650032043457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456169128417969 × 216)
    floor (0.456169128417969 × 65536)
    floor (29895.5)     		tx = 29895
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650032043457031 × 216)
    floor (0.650032043457031 × 65536)
    floor (42600.5)     		ty = 42600
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29895 / 42600 ti = "16/29895/42600"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29895/42600.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29895 ÷ 216
    29895 ÷ 65536     		x = 0.456161499023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42600 ÷ 216
    42600 ÷ 65536     		y = 0.6500244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456161499023438 × 2 - 1) × π
    -0.087677001953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.27544543
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6500244140625 × 2 - 1) × π
    -0.300048828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.942631194128784
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27544543} λ = -0.27544543}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.942631194128784))-π/2
    2×atan(0.38960136870031)-π/2
    2×0.371510023086514-π/2
    0.743020046173028-1.57079632675     		φ = -0.82777628
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27544543} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.781861°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82777628 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.428087°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29895 KachelY 42600 -0.27544543 -0.82777628 -15.781861 -47.428087
    Oben rechts KachelX + 1 29896 KachelY 42600 -0.27534955 -0.82777628 -15.776367 -47.428087
    Unten links KachelX 29895 KachelY + 1 42601 -0.27544543 -0.82784114 -15.781861 -47.431803
    Unten rechts KachelX + 1 29896 KachelY + 1 42601 -0.27534955 -0.82784114 -15.776367 -47.431803
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82777628--0.82784114) × R
    6.48599999999444e-05 × 6371000     		dl = 413.223059999646m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82777628--0.82784114) × R
    6.48599999999444e-05 × 6371000     		dr = 413.223059999646m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27544543--0.27534955) × cos(-0.82777628) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.676515042861209 × 6371000     		do = 413.250215174001m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27544543--0.27534955) × cos(-0.82784114) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.676467276665435 × 6371000     		du = 413.221037122619m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82777628)-sin(-0.82784114))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.676515042861209-0.676467276665435)×R²
    abs(-0.27534955--0.27544543)×4.77661957734021e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.77661957734021e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.77661957734021e-05×40589641000000     		ar = 170758.489997633m²