Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29895 / 17816
↖ ↑ ↗
← N 63.174194°
W 15.781861°		 ← 275.66 m → N 63.174194°
W 15.776367°		 →
↑
275.67 m
↓
↑
275.67 m
↓
N 63.171714°
W 15.781861°		 ← 275.69 m →
75 997 m²		 N 63.171714°
W 15.776367°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29895 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17816 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456169128417969 y=0.271858215332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456169128417969 × 216)
    floor (0.456169128417969 × 65536)
    floor (29895.5)     		tx = 29895
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.271858215332031 × 216)
    floor (0.271858215332031 × 65536)
    floor (17816.5)     		ty = 17816
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29895 / 17816 ti = "16/29895/17816"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29895/17816.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29895 ÷ 216
    29895 ÷ 65536     		x = 0.456161499023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17816 ÷ 216
    17816 ÷ 65536     		y = 0.2718505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456161499023438 × 2 - 1) × π
    -0.087677001953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.27544543
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2718505859375 × 2 - 1) × π
    0.456298828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.43350504623816
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27544543} λ = -0.27544543}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43350504623816))-π/2
    2×atan(4.19337142421147)-π/2
    2×1.33669700373106-π/2
    2.67339400746213-1.57079632675     		φ = 1.10259768
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27544543} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.781861°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10259768 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.174194°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29895 KachelY 17816 -0.27544543 1.10259768 -15.781861 63.174194
    Oben rechts KachelX + 1 29896 KachelY 17816 -0.27534955 1.10259768 -15.776367 63.174194
    Unten links KachelX 29895 KachelY + 1 17817 -0.27544543 1.10255441 -15.781861 63.171714
    Unten rechts KachelX + 1 29896 KachelY + 1 17817 -0.27534955 1.10255441 -15.776367 63.171714
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10259768-1.10255441) × R
    4.32699999999286e-05 × 6371000     		dl = 275.673169999545m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10259768-1.10255441) × R
    4.32699999999286e-05 × 6371000     		dr = 275.673169999545m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27544543--0.27534955) × cos(1.10259768) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.451279522074995 × 6371000     		do = 275.664763953182m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27544543--0.27534955) × cos(1.10255441) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.451318135049758 × 6371000     		du = 275.688350745964m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10259768)-sin(1.10255441))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.451279522074995-0.451318135049758)×R²
    abs(-0.27534955--0.27544543)×3.86129747638742e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.86129747638742e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.86129747638742e-05×40589641000000     		ar = 75996.6304708673m²