Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29894 / 42564
↖ ↑ ↗
← S 47.294134°
W 15.787354°		 ← 414.26 m → S 47.294134°
W 15.781861°		 →
↑
414.24 m
↓
↑
414.24 m
↓
S 47.297859°
W 15.787354°		 ← 414.23 m →
171 597 m²		 S 47.297859°
W 15.781861°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29894 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42564 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456153869628906 y=0.649482727050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456153869628906 × 216)
    floor (0.456153869628906 × 65536)
    floor (29894.5)     		tx = 29894
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649482727050781 × 216)
    floor (0.649482727050781 × 65536)
    floor (42564.5)     		ty = 42564
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29894 / 42564 ti = "16/29894/42564"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29894/42564.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29894 ÷ 216
    29894 ÷ 65536     		x = 0.456146240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42564 ÷ 216
    42564 ÷ 65536     		y = 0.64947509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456146240234375 × 2 - 1) × π
    -0.08770751953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.27554130
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64947509765625 × 2 - 1) × π
    -0.2989501953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.93917973735614
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27554130} λ = -0.27554130}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.93917973735614))-π/2
    2×atan(0.390948384228676)-π/2
    2×0.372678988216592-π/2
    0.745357976433184-1.57079632675     		φ = -0.82543835
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27554130} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.787354°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82543835 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.294134°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29894 KachelY 42564 -0.27554130 -0.82543835 -15.787354 -47.294134
    Oben rechts KachelX + 1 29895 KachelY 42564 -0.27544543 -0.82543835 -15.781861 -47.294134
    Unten links KachelX 29894 KachelY + 1 42565 -0.27554130 -0.82550337 -15.787354 -47.297859
    Unten rechts KachelX + 1 29895 KachelY + 1 42565 -0.27544543 -0.82550337 -15.781861 -47.297859
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82543835--0.82550337) × R
    6.50199999999712e-05 × 6371000     		dl = 414.242419999817m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82543835--0.82550337) × R
    6.50199999999712e-05 × 6371000     		dr = 414.242419999817m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27554130--0.27544543) × cos(-0.82543835) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.678234911421199 × 6371000     		do = 414.257589083093m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27554130--0.27544543) × cos(-0.82550337) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.678187130355465 × 6371000     		du = 414.228404992504m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82543835)-sin(-0.82550337))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.678234911421199-0.678187130355465)×R²
    abs(-0.27544543--0.27554130)×4.77810657347755e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77810657347755e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77810657347755e-05×40589641000000     		ar = 171597.021621171m²