Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29894 / 29614
↖ ↑ ↗
← S 80.952644°
E148.425293°		 ← 192.09 m → S 80.952644°
E148.436279°		 →
↑
192.09 m
↓
↑
192.09 m
↓
S 80.954372°
E148.425293°		 ← 192.06 m →
36 895 m²		 S 80.954372°
E148.436279°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29894 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29614 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912307739257812 y=0.903762817382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912307739257812 × 215)
    floor (0.912307739257812 × 32768)
    floor (29894.5)     		tx = 29894
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.903762817382812 × 215)
    floor (0.903762817382812 × 32768)
    floor (29614.5)     		ty = 29614
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29894 / 29614 ti = "15/29894/29614"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29894/29614.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29894 ÷ 215
    29894 ÷ 32768     		x = 0.91229248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29614 ÷ 215
    29614 ÷ 32768     		y = 0.90374755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91229248046875 × 2 - 1) × π
    0.8245849609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.59051006
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90374755859375 × 2 - 1) × π
    -0.8074951171875 × 3.1415926535     		Φ = -2.53682072789337
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59051006} λ = 2.59051006}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53682072789337))-π/2
    2×atan(0.0791175365401749)-π/2
    2×0.0789530728136737-π/2
    0.157906145627347-1.57079632675     		φ = -1.41289018
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59051006} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.425293°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41289018 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.952644°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29894 KachelY 29614 2.59051006 -1.41289018 148.425293 -80.952644
    Oben rechts KachelX + 1 29895 KachelY 29614 2.59070180 -1.41289018 148.436279 -80.952644
    Unten links KachelX 29894 KachelY + 1 29615 2.59051006 -1.41292033 148.425293 -80.954372
    Unten rechts KachelX + 1 29895 KachelY + 1 29615 2.59070180 -1.41292033 148.436279 -80.954372
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41289018--1.41292033) × R
    3.0149999999951e-05 × 6371000     		dl = 192.085649999688m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41289018--1.41292033) × R
    3.0149999999951e-05 × 6371000     		dr = 192.085649999688m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59051006-2.59070180) × cos(-1.41289018) × R
    0.000191739999999996 × 0.157250749870223 × 6371000     		do = 192.093669688118m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59051006-2.59070180) × cos(-1.41292033) × R
    0.000191739999999996 × 0.15722097490371 × 6371000     		du = 192.057297317322m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41289018)-sin(-1.41292033))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157250749870223-0.15722097490371)×R²
    abs(2.59070180-2.59051006)×2.97749665126301e-05×R²
    0.000191739999999996×2.97749665126301e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.97749665126301e-05×40589641000000     		ar = 36894.9440996804m²