Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29894 / 29573
↖ ↑ ↗
← S 80.881537°
E148.425293°		 ← 193.59 m → S 80.881537°
E148.436279°		 →
↑
193.55 m
↓
↑
193.55 m
↓
S 80.883277°
E148.425293°		 ← 193.55 m →
37 466 m²		 S 80.883277°
E148.436279°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29894 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29573 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912307739257812 y=0.902511596679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912307739257812 × 215)
    floor (0.912307739257812 × 32768)
    floor (29894.5)     		tx = 29894
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902511596679688 × 215)
    floor (0.902511596679688 × 32768)
    floor (29573.5)     		ty = 29573
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29894 / 29573 ti = "15/29894/29573"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29894/29573.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29894 ÷ 215
    29894 ÷ 32768     		x = 0.91229248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29573 ÷ 215
    29573 ÷ 32768     		y = 0.902496337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91229248046875 × 2 - 1) × π
    0.8245849609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.59051006
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.902496337890625 × 2 - 1) × π
    -0.80499267578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.52895907635568
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59051006} λ = 2.59051006}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52895907635568))-π/2
    2×atan(0.0797419824147266)-π/2
    2×0.0795736036855026-π/2
    0.159147207371005-1.57079632675     		φ = -1.41164912
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59051006} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.425293°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41164912 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.881537°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29894 KachelY 29573 2.59051006 -1.41164912 148.425293 -80.881537
    Oben rechts KachelX + 1 29895 KachelY 29573 2.59070180 -1.41164912 148.436279 -80.881537
    Unten links KachelX 29894 KachelY + 1 29574 2.59051006 -1.41167950 148.425293 -80.883277
    Unten rechts KachelX + 1 29895 KachelY + 1 29574 2.59070180 -1.41167950 148.436279 -80.883277
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41164912--1.41167950) × R
    3.03799999998855e-05 × 6371000     		dl = 193.550979999271m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41164912--1.41167950) × R
    3.03799999998855e-05 × 6371000     		dr = 193.550979999271m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59051006-2.59070180) × cos(-1.41164912) × R
    0.000191739999999996 × 0.158476248064559 × 6371000     		do = 193.590708306634m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59051006-2.59070180) × cos(-1.41167950) × R
    0.000191739999999996 × 0.158446251909876 × 6371000     		du = 193.554065737778m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41164912)-sin(-1.41167950))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158476248064559-0.158446251909876)×R²
    abs(2.59070180-2.59051006)×2.99961546835759e-05×R²
    0.000191739999999996×2.99961546835759e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.99961546835759e-05×40589641000000     		ar = 37466.1252118816m²