Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29893 / 42601
↖ ↑ ↗
← S 47.431803°
W 15.792847°		 ← 413.18 m → S 47.431803°
W 15.787354°		 →
↑
413.16 m
↓
↑
413.16 m
↓
S 47.435519°
W 15.792847°		 ← 413.15 m →
170 702 m²		 S 47.435519°
W 15.787354°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29893 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42601 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456138610839844 y=0.650047302246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456138610839844 × 216)
    floor (0.456138610839844 × 65536)
    floor (29893.5)     		tx = 29893
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650047302246094 × 216)
    floor (0.650047302246094 × 65536)
    floor (42601.5)     		ty = 42601
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29893 / 42601 ti = "16/29893/42601"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29893/42601.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29893 ÷ 216
    29893 ÷ 65536     		x = 0.456130981445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42601 ÷ 216
    42601 ÷ 65536     		y = 0.650039672851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456130981445312 × 2 - 1) × π
    -0.087738037109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27563717
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.650039672851562 × 2 - 1) × π
    -0.300079345703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.942727067928024
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27563717} λ = -0.27563717}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.942727067928024))-π/2
    2×atan(0.389564017927412)-π/2
    2×0.37147759419768-π/2
    0.742955188395359-1.57079632675     		φ = -0.82784114
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27563717} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.792847°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82784114 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.431803°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29893 KachelY 42601 -0.27563717 -0.82784114 -15.792847 -47.431803
    Oben rechts KachelX + 1 29894 KachelY 42601 -0.27554130 -0.82784114 -15.787354 -47.431803
    Unten links KachelX 29893 KachelY + 1 42602 -0.27563717 -0.82790599 -15.792847 -47.435519
    Unten rechts KachelX + 1 29894 KachelY + 1 42602 -0.27554130 -0.82790599 -15.787354 -47.435519
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82784114--0.82790599) × R
    6.48500000000052e-05 × 6371000     		dl = 413.159350000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82784114--0.82790599) × R
    6.48500000000052e-05 × 6371000     		dr = 413.159350000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27563717--0.27554130) × cos(-0.82784114) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.676467276665435 × 6371000     		do = 413.177939392445m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27563717--0.27554130) × cos(-0.82790599) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.676419514989052 × 6371000     		du = 413.148767144635m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82784114)-sin(-0.82790599))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.676467276665435-0.676419514989052)×R²
    abs(-0.27554130--0.27563717)×4.77616763835398e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77616763835398e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77616763835398e-05×40589641000000     		ar = 170702.302540125m²