Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29892 / 42602
↖ ↑ ↗
← S 47.435519°
W 15.798340°		 ← 413.19 m → S 47.435519°
W 15.792847°		 →
↑
413.16 m
↓
↑
413.16 m
↓
S 47.439235°
W 15.798340°		 ← 413.16 m →
170 708 m²		 S 47.439235°
W 15.792847°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29892 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42602 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456123352050781 y=0.650062561035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456123352050781 × 216)
    floor (0.456123352050781 × 65536)
    floor (29892.5)     		tx = 29892
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650062561035156 × 216)
    floor (0.650062561035156 × 65536)
    floor (42602.5)     		ty = 42602
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29892 / 42602 ti = "16/29892/42602"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29892/42602.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29892 ÷ 216
    29892 ÷ 65536     		x = 0.45611572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42602 ÷ 216
    42602 ÷ 65536     		y = 0.650054931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45611572265625 × 2 - 1) × π
    -0.0877685546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.27573305
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.650054931640625 × 2 - 1) × π
    -0.30010986328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.942822941727264
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27573305} λ = -0.27573305}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.942822941727264))-π/2
    2×atan(0.389526670735303)-π/2
    2×0.371445167598517-π/2
    0.742890335197034-1.57079632675     		φ = -0.82790599
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27573305} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.798340°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82790599 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.435519°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29892 KachelY 42602 -0.27573305 -0.82790599 -15.798340 -47.435519
    Oben rechts KachelX + 1 29893 KachelY 42602 -0.27563717 -0.82790599 -15.792847 -47.435519
    Unten links KachelX 29892 KachelY + 1 42603 -0.27573305 -0.82797084 -15.798340 -47.439235
    Unten rechts KachelX + 1 29893 KachelY + 1 42603 -0.27563717 -0.82797084 -15.792847 -47.439235
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82790599--0.82797084) × R
    6.48500000000052e-05 × 6371000     		dl = 413.159350000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82790599--0.82797084) × R
    6.48500000000052e-05 × 6371000     		dr = 413.159350000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27573305--0.27563717) × cos(-0.82790599) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.676419514989052 × 6371000     		do = 413.191861831913m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27573305--0.27563717) × cos(-0.82797084) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.676371750467971 × 6371000     		du = 413.162684803519m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82790599)-sin(-0.82797084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.676419514989052-0.676371750467971)×R²
    abs(-0.27563717--0.27573305)×4.77645210810174e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.77645210810174e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.77645210810174e-05×40589641000000     		ar = 170708.05373852m²