Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29892 / 42562
↖ ↑ ↗
← S 47.286682°
W 15.798340°		 ← 414.36 m → S 47.286682°
W 15.792847°		 →
↑
414.31 m
↓
↑
414.31 m
↓
S 47.290408°
W 15.798340°		 ← 414.33 m →
171 666 m²		 S 47.290408°
W 15.792847°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29892 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42562 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456123352050781 y=0.649452209472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456123352050781 × 216)
    floor (0.456123352050781 × 65536)
    floor (29892.5)     		tx = 29892
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649452209472656 × 216)
    floor (0.649452209472656 × 65536)
    floor (42562.5)     		ty = 42562
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29892 / 42562 ti = "16/29892/42562"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29892/42562.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29892 ÷ 216
    29892 ÷ 65536     		x = 0.45611572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42562 ÷ 216
    42562 ÷ 65536     		y = 0.649444580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45611572265625 × 2 - 1) × π
    -0.0877685546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.27573305
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.649444580078125 × 2 - 1) × π
    -0.29888916015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.93898798975766
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27573305} λ = -0.27573305}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.93898798975766))-π/2
    2×atan(0.391023354829969)-π/2
    2×0.372744017755498-π/2
    0.745488035510995-1.57079632675     		φ = -0.82530829
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27573305} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.798340°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82530829 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.286682°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29892 KachelY 42562 -0.27573305 -0.82530829 -15.798340 -47.286682
    Oben rechts KachelX + 1 29893 KachelY 42562 -0.27563717 -0.82530829 -15.792847 -47.286682
    Unten links KachelX 29892 KachelY + 1 42563 -0.27573305 -0.82537332 -15.798340 -47.290408
    Unten rechts KachelX + 1 29893 KachelY + 1 42563 -0.27563717 -0.82537332 -15.792847 -47.290408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82530829--0.82537332) × R
    6.50299999999104e-05 × 6371000     		dl = 414.306129999429m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82530829--0.82537332) × R
    6.50299999999104e-05 × 6371000     		dr = 414.306129999429m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27573305--0.27563717) × cos(-0.82530829) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.678330479645687 × 6371000     		do = 414.359177420646m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27573305--0.27563717) × cos(-0.82537332) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.678282696967638 × 6371000     		du = 414.329989301042m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82530829)-sin(-0.82537332))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.678330479645687-0.678282696967638)×R²
    abs(-0.27563717--0.27573305)×4.77826780487245e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.77826780487245e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.77826780487245e-05×40589641000000     		ar = 171665.500879093m²