Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29892 / 29556
↖ ↑ ↗
← S 80.851891°
E148.403320°		 ← 194.22 m → S 80.851891°
E148.414307°		 →
↑
194.19 m
↓
↑
194.19 m
↓
S 80.853637°
E148.403320°		 ← 194.19 m →
37 713 m²		 S 80.853637°
E148.414307°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29892 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29556 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912246704101562 y=0.901992797851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912246704101562 × 215)
    floor (0.912246704101562 × 32768)
    floor (29892.5)     		tx = 29892
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.901992797851562 × 215)
    floor (0.901992797851562 × 32768)
    floor (29556.5)     		ty = 29556
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29892 / 29556 ti = "15/29892/29556"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29892/29556.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29892 ÷ 215
    29892 ÷ 32768     		x = 0.9122314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29556 ÷ 215
    29556 ÷ 32768     		y = 0.9019775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9122314453125 × 2 - 1) × π
    0.824462890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.59012656
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9019775390625 × 2 - 1) × π
    -0.803955078125 × 3.1415926535     		Φ = -2.52569936718152
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59012656} λ = 2.59012656}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52569936718152))-π/2
    2×atan(0.0800023422044253)-π/2
    2×0.0798323130214476-π/2
    0.159664626042895-1.57079632675     		φ = -1.41113170
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59012656} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.403320°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41113170 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.851891°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29892 KachelY 29556 2.59012656 -1.41113170 148.403320 -80.851891
    Oben rechts KachelX + 1 29893 KachelY 29556 2.59031831 -1.41113170 148.414307 -80.851891
    Unten links KachelX 29892 KachelY + 1 29557 2.59012656 -1.41116218 148.403320 -80.853637
    Unten rechts KachelX + 1 29893 KachelY + 1 29557 2.59031831 -1.41116218 148.414307 -80.853637
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41113170--1.41116218) × R
    3.04799999999439e-05 × 6371000     		dl = 194.188079999642m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41113170--1.41116218) × R
    3.04799999999439e-05 × 6371000     		dr = 194.188079999642m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59012656-2.59031831) × cos(-1.41113170) × R
    0.000191749999999935 × 0.158987108082589 × 6371000     		do = 194.224891477617m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59012656-2.59031831) × cos(-1.41116218) × R
    0.000191749999999935 × 0.158957015694258 × 6371000     		du = 194.188129434906m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41113170)-sin(-1.41116218))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158987108082589-0.158957015694258)×R²
    abs(2.59031831-2.59012656)×3.00923883308768e-05×R²
    0.000191749999999935×3.00923883308768e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.00923883308768e-05×40589641000000     		ar = 37712.5893916652m²