Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29891 / 41390
↖ ↑ ↗
← S 42.738944°
W 15.803833°		 ← 448.60 m → S 42.738944°
W 15.798340°		 →
↑
448.58 m
↓
↑
448.58 m
↓
S 42.742978°
W 15.803833°		 ← 448.57 m →
201 225 m²		 S 42.742978°
W 15.798340°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29891 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41390 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456108093261719 y=0.631568908691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456108093261719 × 216)
    floor (0.456108093261719 × 65536)
    floor (29891.5)     		tx = 29891
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631568908691406 × 216)
    floor (0.631568908691406 × 65536)
    floor (41390.5)     		ty = 41390
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29891 / 41390 ti = "16/29891/41390"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29891/41390.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29891 ÷ 216
    29891 ÷ 65536     		x = 0.456100463867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41390 ÷ 216
    41390 ÷ 65536     		y = 0.631561279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456100463867188 × 2 - 1) × π
    -0.087799072265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27582892
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631561279296875 × 2 - 1) × π
    -0.26312255859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.826623897048248
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27582892} λ = -0.27582892}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.826623897048248))-π/2
    2×atan(0.437523921463557)-π/2
    2×0.412430519764195-π/2
    0.824861039528389-1.57079632675     		φ = -0.74593529
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27582892} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.803833°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74593529 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.738944°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29891 KachelY 41390 -0.27582892 -0.74593529 -15.803833 -42.738944
    Oben rechts KachelX + 1 29892 KachelY 41390 -0.27573305 -0.74593529 -15.798340 -42.738944
    Unten links KachelX 29891 KachelY + 1 41391 -0.27582892 -0.74600570 -15.803833 -42.742978
    Unten rechts KachelX + 1 29892 KachelY + 1 41391 -0.27573305 -0.74600570 -15.798340 -42.742978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74593529--0.74600570) × R
    7.04099999999652e-05 × 6371000     		dl = 448.582109999778m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74593529--0.74600570) × R
    7.04099999999652e-05 × 6371000     		dr = 448.582109999778m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27582892--0.27573305) × cos(-0.74593529) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.734453480703751 × 6371000     		do = 448.595203647772m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27582892--0.27573305) × cos(-0.74600570) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.734405694500642 × 6371000     		du = 448.566016419339m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74593529)-sin(-0.74600570))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.734453480703751-0.734405694500642)×R²
    abs(-0.27573305--0.27582892)×4.77862031090792e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77862031090792e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77862031090792e-05×40589641000000     		ar = 201225.236636585m²