Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29891 / 29619
↖ ↑ ↗
← S 80.961278°
E148.392334°		 ← 191.92 m → S 80.961278°
E148.403320°		 →
↑
191.89 m
↓
↑
191.89 m
↓
S 80.963004°
E148.392334°		 ← 191.89 m →
36 825 m²		 S 80.963004°
E148.403320°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29891 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29619 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912216186523438 y=0.903915405273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912216186523438 × 215)
    floor (0.912216186523438 × 32768)
    floor (29891.5)     		tx = 29891
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.903915405273438 × 215)
    floor (0.903915405273438 × 32768)
    floor (29619.5)     		ty = 29619
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29891 / 29619 ti = "15/29891/29619"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29891/29619.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29891 ÷ 215
    29891 ÷ 32768     		x = 0.912200927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29619 ÷ 215
    29619 ÷ 32768     		y = 0.903900146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912200927734375 × 2 - 1) × π
    0.82440185546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.58993481
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.903900146484375 × 2 - 1) × π
    -0.80780029296875 × 3.1415926535     		Φ = -2.53777946588577
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58993481} λ = 2.58993481}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53777946588577))-π/2
    2×atan(0.0790417199019818)-π/2
    2×0.0788777273549422-π/2
    0.157755454709884-1.57079632675     		φ = -1.41304087
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58993481} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.392334°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41304087 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.961278°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29891 KachelY 29619 2.58993481 -1.41304087 148.392334 -80.961278
    Oben rechts KachelX + 1 29892 KachelY 29619 2.59012656 -1.41304087 148.403320 -80.961278
    Unten links KachelX 29891 KachelY + 1 29620 2.58993481 -1.41307099 148.392334 -80.963004
    Unten rechts KachelX + 1 29892 KachelY + 1 29620 2.59012656 -1.41307099 148.403320 -80.963004
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41304087--1.41307099) × R
    3.01200000001334e-05 × 6371000     		dl = 191.89452000085m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41304087--1.41307099) × R
    3.01200000001334e-05 × 6371000     		dr = 191.89452000085m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58993481-2.59012656) × cos(-1.41304087) × R
    0.000191749999999935 × 0.1571019328637 × 6371000     		do = 191.921887437095m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58993481-2.59012656) × cos(-1.41307099) × R
    0.000191749999999935 × 0.157072186810768 × 6371000     		du = 191.885548491302m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41304087)-sin(-1.41307099))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.1571019328637-0.157072186810768)×R²
    abs(2.59012656-2.58993481)×2.97460529312121e-05×R²
    0.000191749999999935×2.97460529312121e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.97460529312121e-05×40589641000000     		ar = 36825.2718478439m²