Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29890 / 17729
↖ ↑ ↗
← N 63.389061°
W 15.809326°		 ← 273.59 m → N 63.389061°
W 15.803833°		 →
↑
273.63 m
↓
↑
273.63 m
↓
N 63.386600°
W 15.809326°		 ← 273.61 m →
74 867 m²		 N 63.386600°
W 15.803833°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29890 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17729 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456092834472656 y=0.270530700683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456092834472656 × 216)
    floor (0.456092834472656 × 65536)
    floor (29890.5)     		tx = 29890
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.270530700683594 × 216)
    floor (0.270530700683594 × 65536)
    floor (17729.5)     		ty = 17729
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29890 / 17729 ti = "16/29890/17729"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29890/17729.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29890 ÷ 216
    29890 ÷ 65536     		x = 0.456085205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17729 ÷ 216
    17729 ÷ 65536     		y = 0.270523071289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456085205078125 × 2 - 1) × π
    -0.08782958984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27592479
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.270523071289062 × 2 - 1) × π
    0.458953857421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.44184606677205
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27592479} λ = -0.27592479}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.44184606677205))-π/2
    2×atan(4.2284946997135)-π/2
    2×1.33857207808444-π/2
    2.67714415616889-1.57079632675     		φ = 1.10634783
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27592479} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.809326°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10634783 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.389061°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29890 KachelY 17729 -0.27592479 1.10634783 -15.809326 63.389061
    Oben rechts KachelX + 1 29891 KachelY 17729 -0.27582892 1.10634783 -15.803833 63.389061
    Unten links KachelX 29890 KachelY + 1 17730 -0.27592479 1.10630488 -15.809326 63.386600
    Unten rechts KachelX + 1 29891 KachelY + 1 17730 -0.27582892 1.10630488 -15.803833 63.386600
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10634783-1.10630488) × R
    4.29500000000971e-05 × 6371000     		dl = 273.634450000618m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10634783-1.10630488) × R
    4.29500000000971e-05 × 6371000     		dr = 273.634450000618m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27592479--0.27582892) × cos(1.10634783) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.447929787817208 × 6371000     		do = 273.590036217439m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27592479--0.27582892) × cos(1.10630488) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.44796818765627 × 6371000     		du = 273.613490369509m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10634783)-sin(1.10630488))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.447929787817208-0.44796818765627)×R²
    abs(-0.27582892--0.27592479)×3.83998390627305e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.83998390627305e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.83998390627305e-05×40589641000000     		ar = 74866.8680298238m²